Ponto, reta e plano

Quase tudo em geometria nasce de três ideias que ninguém define: ponto, reta e plano. Começar por coisas sem definição parece estranho, mas há um motivo. Se você tentasse definir "ponto", precisaria de outras palavras que também pediriam definição, e a conversa nunca terminaria. Então a matemática faz um acordo: aceita esses três conceitos como primitivos e constrói o resto em cima deles.

O que são ponto, reta e plano?

Ponto, reta e plano são os três conceitos primitivos da geometria: ideias tão básicas que a matemática as aceita sem definir e usa como base para todo o resto.

O ponto não tem tamanho. Ele só marca uma posição. A ponta de um lápis encostada no papel chega perto da ideia, mas o ponto de verdade não tem largura nem altura. Escrevemos um ponto com letra maiúscula: A, B, C.

A reta não tem espessura e não termina. Ela segue direto para os dois lados, sem início e sem fim. Damos nome a uma reta com letra minúscula (r, s, t) ou citando dois pontos por onde ela passa, como a reta AB.

O plano é uma superfície lisa que se estende sem parar em todas as direções. Imagine o tampo de uma mesa que continuasse para sempre, sem borda. Para os planos usamos letras gregas: α (alfa), β (beta), γ (gama).

Em resumo, a notação fica assim:

• Ponto: letra maiúscula. A, B, C.
• Reta: letra minúscula, ou os dois pontos que ela contém. r, ou reta AB.
• Plano: letra grega. α, β, γ.

O plano abaixo representa um pedaço dessa superfície infinita. Experimente: clique no plano para marcar dois pontos, troque para o modo Segmento e ligue os dois. Veja o comprimento aparecer, e mude de ideia movendo um ponto com as setas do teclado.

Por dois pontos passa uma única reta

Marque dois pontos distintos e tente traçar uma segunda reta diferente entre eles. Não dá. Por mais que você gire, só existe uma reta passando pelos dois. Esse fato tem nome de postulado, um ponto de partida que aceitamos sem demonstrar:

Um ponto sozinho não resolve: por ele passam infinitas retas, girando ao redor dele como um cata-vento. É o segundo ponto que trava a direção.

Qual a diferença entre segmento, semirreta e reta?

A diferença está nos extremos: o segmento tem dois, a semirreta tem um e a reta não tem nenhum. Por isso só o segmento pode ser medido.

Com dois pontos A e B aparecem três figuras diferentes, e é fácil trocá-las entre si:

• O segmento AB é só o pedaço entre A e B. Tem começo e fim, então tem comprimento e dá para medir.
• A semirreta de origem A passando por B começa em A e segue para sempre no sentido de B. Tem início, mas não tem fim.
• A reta AB passa por A e por B e continua nos dois sentidos, infinita.

No explorador, ligue os mesmos dois pontos em cada modo: o segmento para nas pontas, a semirreta escapa por um lado só, e a reta atravessa o plano inteiro.

O que são pontos colineares e coplanares?

Pontos colineares são os que estão sobre uma mesma reta; coplanares são os que estão sobre um mesmo plano.

Três ou mais pontos são colineares quando uma única reta passa por todos eles. A, B e C alinhados são colineares; basta um sair da linha para deixarem de ser. Algo parecido vale no plano: quando você marca vários pontos no explorador, todos ficam sobre a mesma superfície, então dizemos que são coplanares.

Um ponto pertence ou não à reta

Todo ponto ou está sobre a reta, ou está fora dela. Quando o ponto A está sobre a reta r, dizemos que A pertence a r e escrevemos A ∈ r. Quando o ponto B está fora, B não pertence a r: B ∉ r. No explorador, solte um ponto exatamente em cima do traço da reta e ele passa a pertencer a ela; qualquer ponto que caia ao lado fica de fora.

Onde ponto, reta e plano aparecem

• Ponto: a sua posição no GPS, ou o cruzamento de duas ruas no mapa. Um lugar marcado, sem tamanho.
• Reta: o fio esticado de um varal, a linha do horizonte no mar, a borda de uma régua.
• Plano: a parede da sala, a lousa, a superfície parada de um lago.

Nada disso é o objeto matemático de verdade. A rua tem largura, o fio tem espessura. Mas são boas imagens para guardar cada ideia.

Resumo

• Ponto, reta e plano são os três conceitos primitivos, aceitos sem definição.
• Notação: ponto = letra maiúscula, reta = letra minúscula, plano = letra grega.
• Por dois pontos distintos passa uma única reta (postulado da reta).
• O segmento tem dois extremos e comprimento; a semirreta tem um; a reta não tem nenhum.
• Pontos numa mesma reta são colineares; num mesmo plano, coplanares.

Esses são os tijolos da geometria. Ângulos, triângulos e tudo que vem depois saem dessas três ideias e do jeito como pontos, retas e planos se encaixam.