Distância entre pontos e ponto médio

Qual é a menor distância entre a sua casa e a escola, em linha reta? Assim que você dá coordenadas aos dois lugares, essa distância deixa de ser uma medida com régua e vira uma conta. No plano cartesiano, duas fórmulas resolvem quase tudo: a da distância entre dois pontos e a do ponto médio.

Como calcular a distância entre dois pontos?

A distância entre dois pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) no plano cartesiano é dada pela fórmula:

• d = √((xB − xA)² + (yB − yA)²).

Em palavras: você calcula a diferença das abscissas e a diferença das ordenadas, eleva cada uma ao quadrado, soma os dois resultados e tira a raiz quadrada. Chamando essas diferenças de Δx e Δy, a fórmula fica curta: d = √(Δx² + Δy²). Lembrando: a abscissa é a coordenada x (horizontal) e a ordenada é a coordenada y (vertical).

No explorador abaixo, arraste os pontos A e B e acompanhe a distância e o ponto médio mudarem.

De onde vem a fórmula da distância?

A fórmula não é mágica: ela é o teorema de Pitágoras vestido de coordenadas.

Ligue A e B por um segmento e complete um triângulo retângulo, andando primeiro na horizontal e depois na vertical. O cateto horizontal corresponde à variação das abscissas, Δx = xB − xA, e o seu comprimento é |Δx|; o cateto vertical corresponde à variação das ordenadas, Δy = yB − yA, com comprimento |Δy|; e o segmento AB é a hipotenusa. Pelo teorema de Pitágoras, o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos:

• d² = Δx² + Δy².

Tirando a raiz, chega-se à fórmula da distância. Repare que a ordem da subtração não muda nada: como tudo é elevado ao quadrado, o sinal desaparece, e a distância de A a B é igual à de B a A.

A mesma ideia se estende ao espaço: no plano usamos duas variações, e em três dimensões basta somar mais uma, com d = √(Δx² + Δy² + Δz²).

Como calcular o ponto médio de um segmento?

O ponto médio de um segmento é o ponto que fica bem no meio, à mesma distância das duas pontas. No plano cartesiano, achá-lo é ainda mais simples que a distância: basta tirar a média das coordenadas.

• M = ((xA + xB)/2, (yA + yB)/2).

A abscissa do ponto médio é a média das abscissas, e a ordenada é a média das ordenadas. Por exemplo, o ponto médio de A(2, 1) e B(6, 5) é M((2 + 6)/2, (1 + 5)/2) = M(4, 3).

Do ponto médio ao baricentro

A mesma ideia de tirar médias vai além de dois pontos. O baricentro de um triângulo é o ponto onde as três medianas se cruzam, o seu centro de equilíbrio. Se os vértices são A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), as coordenadas do baricentro G saem da média das três coordenadas:

• G = ((xA + xB + xC)/3, (yA + yB + yC)/3).

Repare no padrão: no ponto médio dividimos a soma por 2, porque são dois pontos; no baricentro, por 3, porque são três vértices. Por exemplo, o baricentro do triângulo de vértices A(0, 0), B(6, 0) e C(0, 3) é G((0 + 6 + 0)/3, (0 + 0 + 3)/3) = G(2, 1).

Onde essas fórmulas aparecem?

• GPS e mapas: o aplicativo calcula a distância em linha reta entre dois pontos por coordenadas.
• Computação gráfica: jogos e programas medem distâncias entre objetos o tempo todo.
• Engenharia: para achar o centro de uma peça ou o meio de uma ponte.
• Estatística: a distância entre pontos é a base de vários métodos de análise de dados.

Resumo

• A distância entre A(xA, yA) e B(xB, yB) é d = √((xB − xA)² + (yB − yA)²).
• Essa fórmula é o teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo de catetos Δx e Δy.
• A ordem dos pontos não importa, porque as diferenças são elevadas ao quadrado.
• O ponto médio de A e B é M = ((xA + xB)/2, (yA + yB)/2), a média das coordenadas.
• A distância de um ponto (x, y) à origem é √(x² + y²).
• O baricentro de um triângulo é a média das coordenadas dos três vértices: G = ((xA + xB + xC)/3, (yA + yB + yC)/3).