Equação da reta

Uma conta de luz que cresce por consumo, a velocidade de um carro em movimento uniforme, a temperatura que sobe a cada minuto. Sempre que duas grandezas crescem juntas a um ritmo constante, o gráfico é uma reta, e a reta tem uma fórmula. Depois de localizar pontos no plano cartesiano, agora aprendemos a escrever a equação da reta e a ler nela a inclinação e a altura do gráfico.

O que é a equação de uma reta?

A equação de uma reta é uma relação entre x e y que vale para todos os pontos daquela reta, e só para eles. A forma mais usada é a equação reduzida:

• y = mx + n.

Nela, cada ponto (x, y) da reta obedece a essa igualdade. Os dois números m e n controlam tudo: m dá a inclinação e n dá a altura em que a reta começa no eixo y.

No explorador abaixo, mude m e n e veja a reta girar e subir.

O coeficiente angular

O coeficiente angular m mede a inclinação da reta, ou seja, o quanto ela sobe ou desce. Entre dois pontos A e B da reta, ele é a variação de y dividida pela variação de x:

• m = Δy/Δx = (yB − yA)/(xB − xA).

Esse número também é a tangente do ângulo que a reta forma com o eixo x. O sinal de m diz o comportamento da reta:

• m > 0: a reta é crescente, sobe da esquerda para a direita.
• m < 0: a reta é decrescente, desce da esquerda para a direita.
• m = 0: a reta é horizontal, do tipo y = n.

O coeficiente linear

O coeficiente linear n é o valor de y quando x = 0. Geometricamente, é a altura em que a reta cruza o eixo y, no ponto (0, n).

Por isso, na equação y = 2x + 3, a reta corta o eixo y em (0, 3); já em y = 2x − 1, ela corta em (0, −1). Mudar o n desliza a reta para cima ou para baixo, sem mudar a sua inclinação.

Um ponto pertence à reta?

Como a equação vale só para os pontos da reta, para testar se um ponto pertence a ela basta substituir as coordenadas na equação e ver se a igualdade se mantém. Por exemplo, o ponto (2, 5) pertence à reta y = 2x + 1, porque 2 × 2 + 1 = 5. Já o ponto (2, 4) não pertence: substituindo, 2 × 2 + 1 = 5, e não 4.

A equação fundamental

Quando você conhece a inclinação m e um ponto (x0, y0) da reta, a equação fundamental dá a reta na hora:

• y − y0 = m(x − x0).

Ela é o caminho mais rápido para achar a equação de uma reta que passa por dois pontos: calcule o coeficiente angular com os dois pontos e use um deles como (x0, y0). Depois é só desenvolver para chegar à forma reduzida y = mx + n.

A equação geral

Existe ainda uma terceira forma, a equação geral:

• ax + by + c = 0, com a e b não nulos ao mesmo tempo.

Toda reta pode ser escrita assim, inclusive as retas verticais, do tipo x = k, que não têm coeficiente angular e por isso não cabem na forma reduzida. Quando b não é zero, dá para voltar à reduzida, com m = −a/b e n = −c/b.

O que é a equação segmentária da reta?

A equação segmentária escreve a reta a partir dos pontos em que ela corta os eixos. Se a reta cruza o eixo x em (p, 0) e o eixo y em (0, q), com p e q diferentes de zero:

• x/p + y/q = 1.

Por exemplo, a reta que corta o eixo x em (4, 0) e o eixo y em (0, 2) tem equação segmentária x/4 + y/2 = 1.

Retas paralelas e perpendiculares

O coeficiente angular também revela a relação entre duas retas:

• Paralelas: têm a mesma inclinação, então m1 = m2.
• Perpendiculares: o produto dos coeficientes angulares é −1, ou seja, m1 × m2 = −1, e cada coeficiente é o inverso e o oposto do outro.

Assim, y = 2x + 1 e y = 2x − 5 são paralelas, porque ambas têm m = 2. E uma reta perpendicular a y = 2x tem coeficiente angular −1/2, porque 2 × (−1/2) = −1.

Onde duas retas se cruzam

Quando duas retas têm coeficientes angulares diferentes, elas são concorrentes: cruzam-se em um único ponto. Para achar esse ponto, é só resolver o sistema com as duas equações, igualando os valores de y. Por exemplo, para y = 2x + 1 e y = −x + 4, faça 2x + 1 = −x + 4, o que dá 3x = 3 e x = 1; substituindo, y = 3. As retas se cruzam em (1, 3).

Onde a equação da reta aparece?

• Física: o gráfico do movimento uniforme, com posição em função do tempo, é uma reta.
• Economia: custos, receitas e demandas lineares viram retas em gráficos.
• Estatística: a reta de tendência resume a relação entre duas variáveis.
• Computação: telas e impressoras traçam segmentos calculando equações de reta.

Resumo

• A equação reduzida de uma reta é y = mx + n.
• O coeficiente angular m é a inclinação (m = Δy/Δx) e diz se a reta é crescente, decrescente ou horizontal.
• O coeficiente linear n é onde a reta corta o eixo y, no ponto (0, n).
• A equação fundamental y − y0 = m(x − x0) parte de um ponto e da inclinação; a equação geral é ax + by + c = 0.
• Retas paralelas têm m1 = m2; retas perpendiculares têm m1 × m2 = −1.