Teorema de Pitágoras

Poucas fórmulas da matemática são tão conhecidas quanto a² = b² + c². O teorema de Pitágoras liga os três lados de um triângulo retângulo e resolve um sem-número de problemas do dia a dia. Ele nasce dos triângulos retângulos e pode ser demonstrado com semelhança, o tópico anterior da trilha.

O que diz o teorema de Pitágoras?

O teorema de Pitágoras diz que, em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Escrito em fórmula, isso é a² = b² + c², onde a é a hipotenusa e b e c são os catetos.

A ideia fica clara quando desenhamos um quadrado sobre cada lado do triângulo. A área do quadrado construído sobre a hipotenusa é sempre igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os dois catetos.

No explorador abaixo, arraste as alças para mudar os catetos. Repare que a área do quadrado laranja (sobre a hipotenusa) é sempre a soma das áreas dos quadrados azul e verde (sobre os catetos).

Hipotenusa e catetos: quem é quem?

Antes de aplicar a fórmula, é preciso saber nomear os lados:

• Hipotenusa: o lado oposto ao ângulo reto. É sempre o maior lado e recebe a letra a na fórmula.
• Catetos: os dois lados que formam o ângulo reto. São os lados b e c.

Trocar a hipotenusa por um cateto é o erro que mais atrapalha na hora de montar a conta. A dica é achar primeiro o ângulo reto: o lado que fica de frente para ele é a hipotenusa.

Como usar o teorema de Pitágoras?

O teorema serve para achar um lado quando os outros dois são conhecidos.

Para achar a hipotenusa, some os quadrados dos catetos e tire a raiz. Num triângulo de catetos 6 e 8, a hipotenusa é a = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Para achar um cateto, subtraia do quadrado da hipotenusa o quadrado do cateto conhecido. Se a hipotenusa é 13 e um cateto é 5, o outro é c = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12.

Ternos pitagóricos

Alguns triângulos retângulos têm os três lados inteiros, sem raízes quebradas. Esses trios de números são chamados de ternos pitagóricos, e vale a pena reconhecê-los de cara:

• 3, 4, 5: o mais famoso, porque 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².
• 5, 12, 13: 25 + 144 = 169.
• 8, 15, 17: 64 + 225 = 289.

Multiplicar um terno por um mesmo número gera outro terno. De 3, 4, 5 saem 6, 8, 10 e 9, 12, 15, todos triângulos retângulos.

A recíproca do teorema

O caminho inverso também vale: se, num triângulo, o quadrado do maior lado for igual à soma dos quadrados dos outros dois, então o triângulo é retângulo. É assim que se confirma um ângulo reto só com as medidas dos lados, sem transferidor.

A mesma comparação classifica o triângulo, chamando de a o maior lado:

• se a² = b² + c², o triângulo é retângulo;
• se a² < b² + c², é acutângulo (todos os ângulos agudos);
• se a² > b² + c², é obtusângulo (tem um ângulo maior que 90°).

Esse é o critério de lados que aparece na classificação dos triângulos.

Por que o teorema funciona?

A demonstração mais visual usa as áreas dos quadrados construídos sobre os lados. Rearranjando as peças, a área do quadrado da hipotenusa cobre exatamente a área dos dois quadrados dos catetos, o que é a própria igualdade a² = b² + c².

Também dá para provar o teorema com semelhança de triângulos. A altura traçada até a hipotenusa divide o triângulo em dois menores, ambos semelhantes ao original, e as proporções entre eles levam direto à fórmula.

Um pouco de história

O nome homenageia Pitágoras de Samos, filósofo e matemático grego que viveu por volta de 570 a.C. a 495 a.C. e reuniu discípulos na chamada escola pitagórica. A relação entre os lados, porém, já era usada bem antes: babilônios e egípcios empregavam trios como 3-4-5 para marcar ângulos retos há cerca de quatro mil anos. O mérito atribuído aos pitagóricos foi o de apresentar uma demonstração geral, válida para qualquer triângulo retângulo, e não só para casos isolados. De lá para cá, o teorema virou um dos mais demonstrados da matemática, com centenas de provas diferentes.

Onde o teorema de Pitágoras aparece?

• Diagonais: a diagonal de um retângulo ou de uma tela de TV é a hipotenusa de um triângulo retângulo.
• Construção: pedreiros usam o terno 3-4-5 para garantir cantos perfeitamente retos.
• Distâncias: a menor distância entre dois pontos num plano sai do teorema, base do cálculo de distância.
• Escadas e rampas: relacionam a altura, o afastamento e o comprimento apoiado.

Dois resultados saem direto do teorema e vale a pena guardar de cor:

• Diagonal do quadrado: num quadrado de lado l, a diagonal é a hipotenusa de dois catetos iguais a l, então d = l√2.
• Altura do triângulo equilátero: num triângulo equilátero de lado l, a altura cai no meio da base e forma um triângulo retângulo de catetos l/2 e h, o que leva a h = (l√3) / 2.

Resumo

• No triângulo retângulo, a² = b² + c²: o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos.
• A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto e o maior de todos; os catetos formam o ângulo reto.
• Para achar a hipotenusa, some os quadrados e tire a raiz; para um cateto, subtraia os quadrados.
• Ternos pitagóricos, como 3-4-5 e 5-12-13, têm os três lados inteiros.
• Pela recíproca, se a² = b² + c², então o triângulo é retângulo.