Quando você compartilha uma localização no mapa, marca uma casa num jogo de batalha naval ou lê um gráfico de vendas, está usando coordenadas. A ideia de dar a cada ponto do plano um endereço numérico é uma das mais poderosas da matemática, e nasceu com o filósofo René Descartes. Depois de conhecer o ponto, a reta e o plano, agora damos a eles coordenadas.
O plano cartesiano tem dois eixos perpendiculares, o x (abscissas) e o y (ordenadas), que se cruzam na origem O(0, 0). Cada ponto é um par ordenado (x, y). Os eixos dividem o plano em quatro quadrantes, numerados no sentido anti-horário.
O que é o plano cartesiano e para que serve?
O plano cartesiano é um sistema para localizar pontos, formado por dois eixos perpendiculares que se cruzam num único ponto, a origem. O nome é uma homenagem ao filósofo e matemático francês René Descartes, que latinizava o seu nome como "Renatus Cartesius" (a raiz da palavra "cartesiano"), e a sua ideia deu origem à geometria analítica, o casamento entre a geometria e a álgebra.
Com esses dois eixos, qualquer ponto do plano ganha um endereço formado por dois números. No explorador abaixo, arraste o ponto e veja as suas coordenadas e o quadrante mudarem.
Ponto: P(3, 2)
Abscissa x = 3, ordenada y = 2
Posição: 1º quadrante
Um plano cartesiano com um ponto que você pode arrastar. As linhas tracejadas mostram a projeção do ponto em cada eixo, e o painel dá o par ordenado, a abscissa, a ordenada e o quadrante.
Como marcar um ponto
Para localizar (x, y) no plano, o caminho é sempre o mesmo:
- Comece na origem (0, 0).
- Ande na horizontal o valor da abscissa x: para a direita se for positivo, para a esquerda se for negativo.
- A partir daí, ande na vertical o valor da ordenada y: para cima se for positivo, para baixo se for negativo.
- Marque o ponto onde você parou.
Por exemplo, para marcar (3, 2), ande 3 para a direita e depois 2 para cima; para (−2, 1), ande 2 para a esquerda e 1 para cima.
Os eixos e a origem
O plano cartesiano tem dois eixos, que são retas perpendiculares:
- Eixo x: o eixo horizontal, chamado de eixo das abscissas.
- Eixo y: o eixo vertical, chamado de eixo das ordenadas.
Os dois se cruzam na origem, o ponto O de coordenadas (0, 0). A partir da origem, os eixos marcam números positivos para a direita e para cima, e negativos para a esquerda e para baixo.
Coordenadas cartesianas: o par ordenado (x, y)
Cada ponto do plano é localizado por um par ordenado de coordenadas cartesianas (x, y):
- A abscissa (x) diz quanto o ponto está à direita ou à esquerda da origem.
- A ordenada (y) diz quanto o ponto está acima ou abaixo da origem.
A palavra "ordenado" avisa que a ordem importa. O ponto (3, 2) fica três passos à direita e dois para cima; já o ponto (2, 3) fica em outro lugar, então (3, 2) e (2, 3) são pontos diferentes.
Os quatro quadrantes
Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões, os quadrantes, numerados no sentido anti-horário a partir do canto superior direito:
- 1º quadrante: x > 0 e y > 0.
- 2º quadrante: x < 0 e y > 0.
- 3º quadrante: x < 0 e y < 0.
- 4º quadrante: x > 0 e y < 0.
Para descobrir o quadrante de um ponto, basta olhar os sinais das suas coordenadas. O ponto (−2, 3), por exemplo, tem abscissa negativa e ordenada positiva, então está no 2º quadrante.
Pontos sobre os eixos
Nem todo ponto está dentro de um quadrante: os que caem sobre os eixos são um caso à parte.
- Um ponto sobre o eixo x tem ordenada zero, na forma (x, 0).
- Um ponto sobre o eixo y tem abscissa zero, na forma (0, y).
- A origem é o único ponto com as duas coordenadas iguais a zero, (0, 0).
As bissetrizes dos quadrantes
Além dos eixos, duas retas especiais cortam os quadrantes bem ao meio, as bissetrizes:
- Bissetriz dos quadrantes ímpares (1º e 3º): passa por todos os pontos em que a abscissa é igual à ordenada, como (1, 1), (2, 2) e (−3, −3). Nela, x = y.
- Bissetriz dos quadrantes pares (2º e 4º): passa pelos pontos em que a abscissa e a ordenada são opostas, como (1, −1), (−2, 2) e (3, −3). Nela, x = −y.
O atalho para reconhecer é simples: se as duas coordenadas de um ponto são iguais, ele está na bissetriz dos ímpares; se são opostas, na dos pares.
Simetrias no plano
As coordenadas transformam as simetrias em regras de sinal muito simples:
- Reflexão no eixo x: (x, y) vira (x, −y). O ponto vira o seu "reflexo na água".
- Reflexão no eixo y: (x, y) vira (−x, y). O ponto vira o seu reflexo num espelho vertical.
- Simetria em relação à origem: (x, y) vira (−x, −y). Um ponto de dentro de um quadrante vai para o quadrante diagonalmente oposto.
Assim, o simétrico de (3, 2) no eixo x é (3, −2); no eixo y é (−3, 2); e na origem é (−3, −2).
Onde as coordenadas aparecem?
As coordenadas do plano cartesiano aparecem em muitas situações do dia a dia:
- Mapas e GPS: latitude e longitude são coordenadas na superfície da Terra.
- Telas: cada pixel de um monitor tem uma coordenada.
- Gráficos: tabelas de dados viram pontos num plano.
- Jogos: de batalha naval a videogames, tudo é posicionado por coordenadas.
O plano cartesiano é a base da geometria analítica e aparece na leitura de gráficos, no estudo de funções e em mapas. Boa parte dessas questões se resolve só reconhecendo o quadrante pelos sinais das coordenadas e aplicando as simetrias, sem conta pesada.
Exercícios
Tente resolver antes de ver a resposta.
- Exercício 1
Em que quadrante está o ponto A(3, −5)?
- Exercício 2
Um ponto tem abscissa 0 e ordenada 4. Onde ele está?
- Exercício 3
Qual é o simétrico de P(2, 5) em relação ao eixo x?
- Exercício 4
Em que quadrante está o ponto B(−2, 3)?
- Exercício 5
Qual é o simétrico de P(3, −1) em relação à origem?
- Exercício 6
O ponto (4, 4) está sobre qual reta especial do plano?
Resumo
- O plano cartesiano tem dois eixos perpendiculares, x (abscissas) e y (ordenadas), que se cruzam na origem O(0, 0).
- Cada ponto é um par ordenado (x, y), e a ordem dos números importa.
- Os eixos dividem o plano em quatro quadrantes, numerados no sentido anti-horário.
- Pontos sobre um eixo têm uma das coordenadas igual a zero.
- As simetrias viram regras de sinal: (x, −y) no eixo x, (−x, y) no eixo y e (−x, −y) na origem.
Com os pontos localizados por coordenadas, o próximo passo é medir: o tópico Distância entre pontos e ponto médio mostra como calcular distâncias no plano cartesiano. Enquanto ele não sai, volte à página inicial para acompanhar a trilha inteira.