Lei dos senos e dos cossenos

A trigonometria do triângulo retângulo resolve muita coisa, mas só funciona quando existe um ângulo de 90°. E quando o triângulo não tem ângulo reto? É aí que entram a lei dos senos e a lei dos cossenos, que estendem a trigonometria para qualquer triângulo.

O que são a lei dos senos e a lei dos cossenos?

São duas relações que valem em qualquer triângulo, tenha ele ângulo reto ou não. Em cada triângulo, cada lado recebe uma letra minúscula igual à do ângulo oposto: o lado a fica de frente para o ângulo A, o lado b para o ângulo B e o lado c para o ângulo C.

Com essa convenção, a lei dos senos liga lados e ângulos por meio de razões iguais, e a lei dos cossenos liga os três lados a um ângulo. Juntas, elas permitem "resolver" um triângulo, isto é, achar todos os lados e ângulos a partir de alguns deles.

No explorador abaixo, arraste o vértice C e mude a forma do triângulo. Repare que as três razões da lei dos senos continuam sempre iguais, e que a lei dos cossenos também se mantém verdadeira.

A lei dos senos

A lei dos senos afirma que, em qualquer triângulo, o lado dividido pelo seno do ângulo oposto é sempre o mesmo. Sua fórmula é:

• a/sen A = b/sen B = c/sen C = 2R.

O valor comum dessas razões não é qualquer número: ele é igual a 2R, o diâmetro da circunferência circunscrita, aquela que passa pelos três vértices. Isso quer dizer que, sabendo um lado e o ângulo oposto a ele, você já descobre o diâmetro dessa circunferência.

Dá para enxergar de onde vem esse 2R: se um dos lados fosse um diâmetro da circunscrita, o ângulo oposto a ele estaria inscrito num semicírculo e seria reto, e então lado ÷ sen 90° = lado = 2R. A lei dos senos garante que essa mesma razão se repete para todos os lados, mesmo quando nenhum deles é diâmetro.

A lei dos senos é a ferramenta certa quando você conhece um lado e o ângulo à sua frente, mais um segundo ângulo ou um segundo lado.

A lei dos cossenos

A lei dos cossenos relaciona os três lados de um triângulo com um dos seus ângulos. Sua fórmula tem uma versão para cada ângulo, trocando o lado e o ângulo correspondentes:

• a² = b² + c² − 2·b·c·cos A
• b² = a² + c² − 2·a·c·cos B
• c² = a² + b² − 2·a·b·cos C

Ela é uma generalização do teorema de Pitágoras: quando o ângulo A é reto, cos 90° = 0, o último termo desaparece e sobra a² = b² + c².

A área pelo seno

Quando você conhece dois lados e o ângulo entre eles, além de achar o terceiro lado pela lei dos cossenos dá para calcular a área do triângulo direto, sem precisar da altura:

• S = (1/2) · a · b · sen C.

Há uma versão para cada par de lados com o ângulo entre eles. Por exemplo, num triângulo de lados 6 e 8 com um ângulo de 30° entre eles, a área é S = (1/2) × 6 × 8 × sen 30° = 24 × 0,5 = 12.

Qual lei usar em cada caso?

Use a lei dos senos quando conhecer um lado e o ângulo oposto a ele; use a lei dos cossenos quando tiver dois lados e o ângulo entre eles, ou os três lados. Na prática, a escolha depende do que o problema te dá:

• Dois ângulos e um lado: use a lei dos senos.
• Um lado, o ângulo oposto e mais um lado: use a lei dos senos.
• Dois lados e o ângulo entre eles: use a lei dos cossenos para achar o terceiro lado.
• Os três lados: use a lei dos cossenos para achar qualquer ângulo.

A dica prática é olhar para o ângulo: se ele está entre os dois lados conhecidos, a lei dos cossenos resolve; se ele está de frente para um lado conhecido, a lei dos senos é o caminho.

Resumo

• A lei dos senos: a/sen A = b/sen B = c/sen C = 2R, válida em qualquer triângulo.
• A lei dos cossenos: a² = b² + c² − 2·b·c·cos A, uma generalização de Pitágoras.
• Use a lei dos senos com lado e ângulo oposto; a dos cossenos com dois lados e o ângulo entre eles ou com os três lados.
• Quando o ângulo é reto, a lei dos cossenos vira o teorema de Pitágoras.
• O valor 2R da lei dos senos é o diâmetro da circunferência circunscrita.