Trigonometria no triângulo retângulo

Como medir a altura de um prédio sem subir nele, ou a largura de um rio sem atravessá-lo? A trigonometria do triângulo retângulo resolve isso ligando um ângulo às razões entre os lados. Ela apoia-se na semelhança de triângulos, retoma as relações métricas no triângulo retângulo e caminha lado a lado com o teorema de Pitágoras.

O que é trigonometria no triângulo retângulo?

A trigonometria estuda a relação entre os ângulos e os lados de um triângulo. No triângulo retângulo, essa relação vira três razões simples entre os lados, cada uma ligada a um dos ângulos agudos.

O ponto de partida é a semelhança: dois triângulos retângulos com o mesmo ângulo agudo são semelhantes, então as razões entre seus lados são iguais. Por isso cada ângulo tem valores fixos de seno, cosseno e tangente, não importa o tamanho do triângulo.

No explorador abaixo, mude o ângulo θ e acompanhe as três razões. Escolha 30°, 45° ou 60° nos botões, ou arraste o vértice de cima para ver qualquer ângulo agudo entre 10° e 80°.

Seno, cosseno e tangente: as razões trigonométricas

As três razões trigonométricas de um ângulo agudo θ são:

• Seno: o cateto oposto dividido pela hipotenusa, sen θ = oposto ÷ hipotenusa.
• Cosseno: o cateto adjacente dividido pela hipotenusa, cos θ = adjacente ÷ hipotenusa.
• Tangente: o cateto oposto dividido pelo cateto adjacente, tg θ = oposto ÷ adjacente.

Uma relação útil liga as três: a tangente é o seno dividido pelo cosseno. Isso acontece porque, ao dividir sen θ por cos θ, a hipotenusa se cancela e sobra oposto ÷ adjacente.

Há ainda uma segunda relação, chamada relação fundamental: sen²θ + cos²θ = 1. Ela vem direto do teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo: como oposto² + adjacente² = hipotenusa², dividir tudo pela hipotenusa² transforma os dois primeiros termos em sen²θ e cos²θ, e o lado direito vira 1. Com ela, sabendo um dos valores você descobre o outro.

Cateto oposto e cateto adjacente

O segredo da trigonometria é enxergar os catetos sempre em relação ao ângulo escolhido.

• O cateto oposto é o que fica de frente para o ângulo, sem tocá-lo.
• O cateto adjacente é o que está encostado no ângulo, sem ser a hipotenusa.

Tabela dos ângulos notáveis: 30°, 45° e 60°

Três ângulos aparecem o tempo todo e têm valores que valem a pena guardar de cor:

| Ângulo | seno | cosseno | tangente | | --- | --- | --- | --- | | 30° | 1/2 | √3/2 | √3/3 | | 45° | √2/2 | √2/2 | 1 | | 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |

Em números aproximados, √2/2 ≈ 0,71, √3/2 ≈ 0,87, √3/3 ≈ 0,58 e √3 ≈ 1,73. Repare numa simetria bonita: o seno de 30° é igual ao cosseno de 60°, e o seno de 60° é igual ao cosseno de 30°.

Tem um truque bom para a linha do seno: escreva os senos de 30°, 45° e 60° como √1/2, √2/2 e √3/2. Basta lembrar de 1, 2 e 3 dentro da raiz, sempre sobre 2, e, como √1 = 1, o seno de 30° já vira 1/2. A linha do cosseno é essa mesma de trás para frente, √3/2, √2/2 e √1/2, e a tangente sai dividindo o seno pelo cosseno.

De onde vêm esses valores?

Eles não caem do céu: saem de duas figuras simples. Cortando um triângulo equilátero ao meio pela altura, aparece um triângulo retângulo com ângulos de 30° e 60°, e as medidas dos lados (metade da base, a altura e o lado inteiro) dão direto o seno, o cosseno e a tangente desses dois ângulos. Já o quadrado cortado pela diagonal forma um triângulo retângulo com dois ângulos de 45°: os dois catetos são iguais, então sen 45° = cos 45° e a tangente vale 1. Saber essa origem ajuda a remontar qualquer valor que você esquecer na hora da prova.

Como usar a trigonometria?

O caminho é escolher a razão que junta o lado que você tem com o lado que você quer.

Imagine uma rampa de 20 m que faz 30° com o chão e você quer saber a altura que ela alcança. A altura é o cateto oposto ao ângulo de 30°, e você tem a hipotenusa (os 20 m), então o seno resolve. De sen 30° = altura ÷ 20, vem altura = 20 × sen 30° = 20 × 0,5 = 10 m.

Se o dado fosse o cateto adjacente, o cosseno faria o papel; se fossem os dois catetos, a tangente.

Dá até para medir a largura de um rio sem molhar os pés. Escolha uma árvore na margem oposta, bem à sua frente, e caminhe uma distância conhecida pela sua margem, formando um ângulo reto com a linha até ela. No fim do trajeto, meça o ângulo até a árvore: a largura do rio é o cateto oposto, então largura = distância caminhada × tangente do ângulo.

Onde a trigonometria aparece?

• Alturas inacessíveis: medir prédios, torres e árvores olhando da base para o topo. O ângulo entre a linha do horizonte e essa direção chama-se ângulo de elevação (quando você olha para cima) ou ângulo de depressão (quando olha para baixo, do alto para um ponto no chão).
• Rampas e telhados: relacionar a inclinação com a altura e o avanço.
• Navegação e topografia: achar distâncias no mar ou no terreno sem medir direto.
• Física e engenharia: decompor forças e velocidades em direções perpendiculares.

Resumo

• No triângulo retângulo, cada ângulo agudo tem seno, cosseno e tangente.
• sen θ = oposto ÷ hipotenusa, cos θ = adjacente ÷ hipotenusa, tg θ = oposto ÷ adjacente.
• O cateto oposto e o adjacente dependem do ângulo escolhido.
• Os ângulos notáveis 30°, 45° e 60° têm valores tabelados que vale a pena memorizar.
• As razões dependem só do ângulo, não do tamanho do triângulo, por causa da semelhança.