Polígonos regulares e o círculo

Favos de mel, porcas de parafuso e telas de videogame antigas têm algo em comum: são feitos de polígonos regulares. Essas figuras de lados e ângulos todos iguais têm uma ligação especial com o círculo, que guarda o segredo de todas as suas medidas. Depois de conhecer os polígonos e a circunferência, agora juntamos os dois.

O que é um polígono regular?

Um polígono regular é aquele que tem, ao mesmo tempo, todos os lados iguais e todos os ângulos iguais. As duas condições precisam valer juntas: só lados iguais não basta, nem só ângulos iguais.

Um losango, por exemplo, tem os quatro lados iguais, mas os ângulos podem ser diferentes, então não é regular. Um retângulo tem os quatro ângulos iguais, mas os lados não, e também não é regular. O quadrado é o único quadrilátero regular, porque reúne as duas coisas: quatro lados iguais e quatro ângulos de 90°. O triângulo equilátero, com três lados iguais e três ângulos de 60°, é o polígono regular de três lados.

No explorador abaixo, mude o número de lados e observe as duas circunferências. Repare que, quanto mais lados o polígono tem, mais ele se cola na circunferência de fora.

Os elementos: centro, raio, apótema e ângulo central

Todo polígono regular gira em torno de um único ponto, o centro, que fica à mesma distância de todos os vértices e de todos os lados. A partir dele saem os elementos que dão as medidas do polígono:

• Raio (R): a distância do centro a um vértice.
• Apótema (a): a distância do centro ao meio de um lado, sempre perpendicular ao lado.
• Ângulo central: o ângulo entre dois raios que chegam a vértices vizinhos.

O raio e o apótema formam, com metade de um lado, um pequeno triângulo retângulo. É por esse triângulo que a trigonometria no triângulo retângulo entra em cena: conhecendo o raio e o ângulo central, o seno e o cosseno de metade desse ângulo dão metade do lado e o apótema de qualquer polígono regular. Em particular, o apótema é o cateto adjacente à metade do ângulo central, então a = R × cos(180° ÷ n); num hexágono (n = 6), a = R × cos(30°) = R√3/2, exatamente o valor da lista de polígonos notáveis.

As duas circunferências: inscrita e circunscrita

Um polígono regular sempre se encaixa entre duas circunferências que compartilham o mesmo centro:

• A circunferência circunscrita passa por todos os vértices, e o seu raio é o raio R do polígono.
• A circunferência inscrita fica por dentro, tocando o meio de cada lado, e o seu raio é o apótema.

Por isso o apótema nunca é maior que o raio: a circunferência inscrita cabe dentro da circunscrita. Quando o número de lados cresce, as duas circunferências ficam cada vez mais próximas, e o polígono vira quase um círculo.

Ângulos do polígono regular

Alguns ângulos resumem a forma de um polígono regular de n lados:

• Ângulo central: o giro em torno do centro dividido igualmente, 360° ÷ n.
• Ângulo interno: o ângulo em cada vértice, (n − 2) × 180° ÷ n.
• Soma dos ângulos internos: somando todos os vértices, dá (n − 2) × 180°, o mesmo valor para qualquer polígono de n lados, regular ou não.
• Ângulo externo: o suplemento do interno em cada vértice; num polígono regular ele vale exatamente 360° ÷ n, igual ao ângulo central, e a soma de todos os externos é sempre 360°.

Por isso o ângulo interno e o externo se completam em 180°. Num hexágono regular, o ângulo central e o externo valem 60° e o interno vale 120°, e de fato 120° + 60° = 180°.

Polígonos regulares notáveis

Quando inscritos numa circunferência de raio R, três polígonos têm medidas que vale a pena guardar:

• Triângulo equilátero: lado = R√3 e apótema = R/2.
• Quadrado: lado = R√2 e apótema = R√2/2.
• Hexágono regular: lado = R e apótema = R√3/2.

Como calcular a área de um polígono regular?

A área de um polígono regular é a metade do produto do perímetro pelo apótema: A = (P × a) ÷ 2, em que P é o perímetro (a soma de todos os lados) e a é o apótema. O motivo é direto: o polígono se divide em n triângulos iguais que partem do centro, cada um com base igual a um lado e altura igual ao apótema, e somar as áreas desses triângulos dá exatamente (P × a) ÷ 2. Se você quiser revisar o cálculo de áreas em geral, veja área de figuras planas.

Exemplo: num hexágono regular de lado 6 cm, o perímetro é 6 × 6 = 36 cm; com apótema a = R√3/2 ≈ 5,2 cm, a área vale (36 × 5,2) ÷ 2 = 93,6 cm².

Onde os polígonos regulares aparecem?

• Natureza: os favos de mel são hexágonos regulares, a forma que preenche o plano gastando menos cera.
• Objetos: porcas e parafusos costumam ter cabeça hexagonal, e placas de sinalização usam octógonos.
• Ladrilhos: só o triângulo, o quadrado e o hexágono regulares cobrem o plano sozinhos, sem deixar buracos. Isso acontece porque os seus ângulos internos, de 60°, 90° e 120°, dividem 360° de forma exata, então as cópias se encaixam em volta de um ponto sem sobrar buraco nem se sobrepor.
• Design e arte: mandalas, rosáceas e logotipos exploram a simetria dos polígonos regulares.

Resumo

• Um polígono regular tem todos os lados e todos os ângulos iguais.
• Ele fica entre a circunferência circunscrita (raio R, pelos vértices) e a inscrita (raio igual ao apótema, tangente aos lados).
• O ângulo central vale 360° ÷ n e o ângulo interno, (n − 2) × 180° ÷ n.
• No hexágono regular, o lado é igual ao raio da circunferência circunscrita.
• A área de um polígono regular é (perímetro × apótema) ÷ 2.
• Quanto mais lados, mais o polígono se aproxima do círculo.