Relações métricas no triângulo retângulo

Trace a altura do ângulo reto até a hipotenusa de um triângulo retângulo, e um mundo de relações aparece. Essas igualdades entre os lados, a altura e as projeções são as relações métricas. Elas nascem da semelhança de triângulos e completam o que o teorema de Pitágoras começou.

O que são as relações métricas no triângulo retângulo?

As relações métricas são igualdades que ligam os lados de um triângulo retângulo à altura traçada sobre a hipotenusa e às projeções dos catetos. Quando você baixa a altura do vértice do ângulo reto até a hipotenusa, o triângulo se parte em dois triângulos menores, e surgem proporções fixas entre todos esses segmentos.

Essas proporções valem em qualquer triângulo retângulo, não importa o tamanho. São elas que permitem achar a altura, as projeções ou um cateto a partir das medidas que você já conhece.

No explorador abaixo, arraste o vértice do ângulo reto sobre a curva. Repare que, mudando a forma do triângulo, a altura e as projeções mudam juntas, mas h² continua sempre igual ao produto m·n.

Os elementos: catetos, hipotenusa, altura e projeções

Antes das fórmulas, é preciso nomear cada segmento:

• a: a hipotenusa, o lado oposto ao ângulo reto.
• b e c: os catetos, os lados que formam o ângulo reto.
• h: a altura relativa à hipotenusa, que vai do ângulo reto até ela.
• m e n: as projeções dos catetos sobre a hipotenusa, os dois pedaços em que o pé da altura a divide.

Um detalhe que ajuda: as duas projeções somam a hipotenusa inteira, ou seja, m + n = a. Cada projeção fica embaixo do cateto que sai do mesmo lado.

As cinco relações métricas

Com esses nomes, as relações ficam curtas e fáceis de guardar:

• Cada cateto ao quadrado é a hipotenusa vezes a sua projeção: b² = a·n e c² = a·m.
• A altura ao quadrado é o produto das projeções: h² = m·n.
• O produto dos catetos é a hipotenusa vezes a altura: b·c = a·h.
• Teorema de Pitágoras: a² = b² + c².

Repare que o teorema de Pitágoras mexe só com os três lados. É a única dessas cinco relações que não envolve a altura nem as projeções.

Uma forma elegante de enxergar as três primeiras é pela média geométrica. Cada cateto é a média geométrica entre a hipotenusa e a sua projeção, e a altura é a média geométrica entre as duas projeções. Média geométrica de dois números é a raiz quadrada do produto deles, então, com radical, cada cateto vira b = √(a·n) e c = √(a·m), e a altura vira h = √(m·n).

A relação b·c = a·h tem uma leitura bonita em termos de área. A área do triângulo pode ser calculada usando os catetos como base e altura, (b·c) ÷ 2, ou usando a hipotenusa como base e a altura h relativa a ela, (a·h) ÷ 2. Como as duas expressões dão a mesma área, b·c = a·h. No triângulo de catetos 6 e 8, por exemplo, a área é (6·8) ÷ 2 = 24, e isso confirma h = 4,8, já que (10·4,8) ÷ 2 também dá 24.

De onde vêm as relações métricas?

A altura sobre a hipotenusa divide o triângulo retângulo em dois triângulos menores. O detalhe poderoso é que esses dois triângulos menores são semelhantes ao triângulo original e semelhantes entre si.

Como são semelhantes, seus lados correspondentes são proporcionais. Escrever essas proporções e organizar os produtos leva direto a cada uma das relações métricas, sem precisar decorar nada solto.

Dá para ver isso numa relação. O triângulo menor que contém o cateto c é semelhante ao triângulo original, então lados correspondentes formam a mesma razão: o cateto c está para a hipotenusa a assim como a projeção m está para o próprio c, ou seja, c/a = m/c. Multiplicando em cruz, chega-se a c² = a·m. O mesmo argumento no outro triângulo menor dá b² = a·n, e comparar os dois triângulos menores entre si dá h² = m·n.

Como usar as relações métricas?

O caminho é escolher a relação que junta o que você tem com o que você quer achar.

Pegue o triângulo de catetos 6 e 8 e hipotenusa 10. A altura sai de b·c = a·h, ou seja, 6 · 8 = 10 · h, então h = 48 ÷ 10 = 4,8. As projeções saem dos catetos: m = c² ÷ a = 36 ÷ 10 = 3,6 e n = b² ÷ a = 64 ÷ 10 = 6,4.

Para conferir, teste h² = m·n: 4,8² = 23,04 e 3,6 · 6,4 = 23,04. As duas contas batem.

Esse é um tema recorrente no ENEM e em vestibulares, quase sempre cobrado dentro de uma situação prática, uma rampa, uma treliça ou um telhado, em que você precisa achar uma medida que falta.

Resumo

• Ao traçar a altura h sobre a hipotenusa, ela fica dividida nas projeções m e n, com m + n = a.
• Cada cateto ao quadrado é a hipotenusa vezes a sua projeção: b² = a·n e c² = a·m.
• A altura ao quadrado é o produto das projeções: h² = m·n.
• O produto dos catetos é a hipotenusa vezes a altura: b·c = a·h.
• Todas as relações vêm da semelhança dos três triângulos formados pela altura.