Semelhança de triângulos

Uma foto e a sua ampliação mostram a mesma cena, só que em tamanhos diferentes. Em geometria, quando dois triângulos têm essa relação de "mesma forma, tamanho diferente", dizemos que existe semelhança de triângulos: um é uma versão ampliada ou reduzida do outro. A ideia vem direto do teorema de Tales, e é o par natural da congruência: onde a congruência exige tamanho igual, a semelhança só pede a mesma forma.

O que é semelhança de triângulos?

Dois triângulos são semelhantes quando têm a mesma forma, mesmo que o tamanho seja diferente. Isso significa duas coisas ao mesmo tempo: os ângulos correspondentes são iguais e os lados correspondentes são proporcionais. Um triângulo é, então, uma ampliação ou uma redução do outro. Esses lados correspondentes também são chamados de lados homólogos, o nome que costuma aparecer nos livros e nas provas.

A proporção entre os lados é medida por um número chamado razão de semelhança, o k. Se k = 2, cada lado do segundo triângulo é o dobro do lado correspondente do primeiro, mas os ângulos permanecem iguais. A semelhança se escreve com o símbolo ~, que se lê "é semelhante a": △ABC ~ △DEF, e a ordem das letras diz quem corresponde a quem, A com D, B com E e C com F.

No explorador abaixo, mova a barra para mudar a razão k. Repare que o triângulo 2 cresce e encolhe, os lados sempre valem k vezes os do triângulo 1, e os ângulos nunca mudam.

Quais são os casos de semelhança?

São três os casos que garantem a semelhança de triângulos: AA, LAL e LLL. Assim como na congruência, você não precisa conferir todos os ângulos e lados, porque cada combinação abaixo já basta:

• AA (ângulo-ângulo): dois ângulos de um triângulo são iguais a dois ângulos do outro.
• LAL (lado-ângulo-lado): dois lados são proporcionais e o ângulo entre eles é igual.
• LLL (lado-lado-lado): os três lados são proporcionais, na mesma razão.

O caso AA é o mais usado de todos. Como a soma dos ângulos de um triângulo é sempre 180°, saber que dois ângulos são iguais garante que o terceiro também é, e a forma fica determinada. Dois triângulos equiláteros, por exemplo, são sempre semelhantes: como cada um tem os três ângulos de 60°, o caso AA se aplica na hora, não importa se um é bem maior que o outro.

O teorema fundamental da semelhança

Existe um atalho para gerar dois triângulos semelhantes a partir de um só. Se você traça uma reta paralela a um dos lados de um triângulo, cortando os outros dois lados, o triângulo menor que aparece é semelhante ao original.

Isso acontece porque a reta paralela repete os ângulos: ela forma ângulos correspondentes iguais aos do triângulo maior, o teorema de Tales em ação, e a situação cai direto no caso AA. Esse resultado é chamado de teorema fundamental da semelhança e é a base de muitas questões de vestibular e do ENEM, em que uma paralela desenhada dentro da figura revela dois triângulos proporcionais.

Semelhança e congruência: qual a diferença?

A diferença está no tamanho: a congruência pede mesma forma e mesmo tamanho, enquanto a semelhança pede só a mesma forma. As duas ideias andam juntas, mas não são a mesma coisa.

A ligação entre elas é a razão k. Quando k = 1, os lados correspondentes têm exatamente a mesma medida, e a semelhança vira congruência. Ou seja, toda congruência é uma semelhança, mas com um tamanho travado.

A razão de semelhança e as áreas

A razão de semelhança k compara os lados, mas as áreas seguem outra regra. Enquanto os lados e o perímetro crescem na razão k, a área cresce na razão k².

Pense num triângulo ampliado com k = 3: cada lado fica 3 vezes maior, mas a área fica 9 vezes maior, porque 3² = 9. É a mesma lógica de quando um quadrado dobra de lado e a área quadruplica. Confundir esses dois é um dos erros mais comuns em provas.

Para que serve a semelhança?

• Medir alturas: calcular a altura de um prédio ou de uma árvore pela sombra, como Tales fez com a pirâmide.
• Mapas e maquetes: manter a mesma forma ao reduzir tudo por uma escala.
• Ampliar e reduzir: fotos, plantas e projeções são ampliações semelhantes ao original.
• Cálculos indiretos: achar distâncias que não dá para medir direto, usando triângulos semelhantes.

Resumo

• Triângulos semelhantes têm a mesma forma: ângulos iguais e lados proporcionais (△ABC ~ △DEF).
• Os casos que garantem a semelhança são AA, LAL e LLL, sendo o AA o mais usado.
• A razão de semelhança k compara os lados; quando k = 1, a semelhança vira congruência.
• As áreas variam com k², não com k.
• A semelhança serve para medir alturas por sombras, trabalhar com escalas e fazer cálculos indiretos.