Como dividir um terreno em faixas proporcionais sem medir cada pedaço no braço? A resposta apareceu na Grécia antiga e leva o nome de quem a descobriu: o teorema de Tales. Ele nasce de uma ideia simples sobre retas paralelas e virou uma das ferramentas mais usadas da geometria.
O teorema de Tales diz que um feixe de retas paralelas, cortado por duas transversais, forma nelas segmentos proporcionais: AB/BC = DE/EF. No triângulo, uma reta paralela a um lado divide os outros dois em segmentos proporcionais. É a base da semelhança de triângulos.
O que é o teorema de Tales?
O teorema de Tales diz que um feixe de retas paralelas corta duas transversais em segmentos proporcionais. Em outras palavras, se você tem várias retas paralelas e duas retas que as atravessam, os pedaços que se formam numa transversal guardam a mesma proporção dos pedaços da outra.
Pense em três prateleiras paralelas e duas cordas esticadas de cima a baixo, cada uma numa inclinação. As cordas ficam divididas pelas prateleiras, e a razão entre os pedaços de uma corda é igual à razão entre os pedaços da outra. Não importa a inclinação das cordas: a proporção é sempre a mesma.
No explorador abaixo, arraste a reta do meio (a reta b) para cima e para baixo. Repare que os comprimentos dos segmentos mudam nas duas transversais, mas as razões AB/BC e DE/EF continuam sempre iguais.
Transversal r: AB = 3,11, BC = 6,23
Transversal s: DE = 3,43, EF = 6,86
Razões: AB/BC = 0,50 e DE/EF = 0,50
As duas razões são iguais, mesmo com os segmentos tendo comprimentos diferentes. É isso que o teorema de Tales garante.
Feixe de três paralelas (a, b, c) cortado por duas transversais (r e s). A alça verde move a reta b: os segmentos mudam de tamanho, mas as razões AB/BC e DE/EF permanecem iguais, como o teorema de Tales garante.
Como usar o teorema de Tales?
O uso mais comum é descobrir uma medida que falta. Você monta uma proporção com os segmentos correspondentes e resolve como uma regra de três. A fórmula do teorema de Tales é justamente essa igualdade de razões: AB/BC = DE/EF.
Digamos que numa transversal os segmentos sejam AB = 4 e BC = 6, e na outra o segmento correspondente a AB seja DE = 6, com EF desconhecido. O teorema garante que AB/BC = DE/EF, ou seja, 4/6 = 6/EF. Multiplicando em cruz, 4 · EF = 6 · 6, então EF = 36/4 = 9.
O segredo é colocar os segmentos certos na mesma razão: os que ficam entre as mesmas paralelas são correspondentes.
O teorema de Tales no triângulo
Há uma versão do teorema feita sob medida para triângulos. Quando uma reta paralela a um lado do triângulo corta os outros dois lados, ela os divide em segmentos proporcionais.
No triângulo ABC, se uma reta paralela ao lado BC cruza AB no ponto D e AC no ponto E, então AD/DB = AE/EC. Essa é a semente da semelhança de triângulos: a reta paralela recorta um triângulo menor com a mesma forma do original. A diferença de foco entre os dois é esta: o teorema de Tales olha para os segmentos proporcionais, enquanto a semelhança compara triângulos inteiros de mesma forma.
A reta precisa ser paralela ao lado para valer a proporção. Se ela cruza os dois lados numa inclinação qualquer, os segmentos não ficam proporcionais e o teorema não se aplica.
Quem foi Tales de Mileto?
Tales de Mileto foi um matemático e filósofo grego que viveu por volta do século VI a.C. Uma história famosa conta que ele calculou a altura de uma pirâmide sem escalá-la.
Ele esperou o momento em que a sombra de uma vara fincada no chão tinha o mesmo comprimento da vara. Nesse instante, a sombra da pirâmide também era igual à sua altura, e bastou medir a sombra no chão. A ideia por trás disso são os segmentos proporcionais, o coração do teorema que leva o seu nome.
Onde o teorema de Tales aparece?
- Dividir terrenos: repartir um lote em faixas proporcionais usando linhas paralelas.
- Mapas e plantas: manter proporções ao transferir medidas de uma escala para outra.
- Régua e compasso: dividir um segmento em partes iguais é uma aplicação direta do teorema.
- Sombras e alturas: medir a altura de prédios ou árvores comparando sombras, como Tales fez.
Exercícios
Tente resolver antes de ver a resposta.
- Exercício 1
Um feixe de paralelas corta duas transversais. Numa delas, AB = 4 e BC = 6; na outra, DE = 6. Quanto mede EF?
- Exercício 2
No triângulo ABC, a reta DE é paralela a BC, com D em AB e E em AC. Sabendo que AD = 3, DB = 5 e AE = 6, quanto mede EC?
- Exercício 3
Em um feixe de paralelas, uma transversal tem segmentos 3 e x, e a outra tem os correspondentes 4 e 8. Quanto vale x?
- Exercício 4
No triângulo ABC, DE é paralela a BC, com AD = 4, AB = 10 e AE = 6. Quanto mede AC?
- Exercício 5
Três ruas paralelas são cortadas por duas avenidas. Na primeira avenida, os quarteirões medem 80 m e 120 m. Na segunda, o quarteirão correspondente ao de 80 m mede 100 m. Quanto mede o outro quarteirão dessa avenida?
Resumo
- O teorema de Tales: um feixe de paralelas corta duas transversais em segmentos proporcionais (AB/BC = DE/EF).
- Para achar uma medida, monte a proporção com os segmentos correspondentes e resolva a regra de três.
- No triângulo, uma reta paralela a um lado divide os outros dois em segmentos proporcionais (AD/DB = AE/EC).
- Essa versão no triângulo é a base da semelhança de triângulos.
- O teorema vale para qualquer número de paralelas, não só três.
O próximo tópico do percurso é Semelhança de triângulos, que parte justamente do teorema de Tales para comparar triângulos de mesma forma. Enquanto ele não sai, volte à página inicial para ver a trilha inteira.