Congruência de triângulos

Duas peças que saem da mesma máquina precisam ser idênticas para encaixar. Em geometria, dizer que dois triângulos são idênticos tem um nome: congruência. Depois de aprender a classificar os triângulos e a medir ângulos, agora vamos comparar dois triângulos e decidir se eles são exatamente iguais.

O que é congruência de triângulos?

Dois triângulos são congruentes quando têm a mesma forma e o mesmo tamanho. Na prática, isso quer dizer que você consegue sobrepor um ao outro de modo que eles coincidam por completo, mesmo que um esteja girado ou virado. Quando isso acontece, os três lados e os três ângulos de um são iguais aos do outro.

Cada lado de um triângulo tem um lado correspondente no outro, e o mesmo vale para os ângulos. A congruência se escreve com o símbolo ≅, que se lê "é congruente a": △ABC ≅ △DEF se lê "ABC é congruente a DEF". A ordem das letras importa, porque ela diz quem corresponde a quem: A com D, B com E e C com F.

No explorador abaixo, escolha um caso de congruência e veja quais lados e ângulos precisam ser iguais. As marcas de mesma cor indicam os elementos correspondentes nos dois triângulos.

Quais são os casos de congruência?

São quatro os casos de congruência de triângulos: LLL, LAL, ALA e LAAo. Nos triângulos retângulos vale ainda o caso especial cateto-hipotenusa.

Você não precisa conferir os seis elementos (três lados e três ângulos) para ter certeza da congruência. Bastam três informações bem escolhidas, e cada combinação que funciona é um caso de congruência:

• LLL (lado-lado-lado): os três lados correspondentes são iguais.
• LAL (lado-ângulo-lado): dois lados e o ângulo entre eles são iguais.
• ALA (ângulo-lado-ângulo): dois ângulos e o lado entre eles são iguais.
• LAAo (lado-ângulo-ângulo oposto): um lado, um ângulo junto a ele e o ângulo oposto a esse lado são iguais.

O detalhe que faz cada caso funcionar é a posição do ângulo em relação aos lados. No LAL, o ângulo fica entre os dois lados e trava a abertura; no ALA, o lado fica entre os dois ângulos. Trocar essa posição pode acabar em um caso que não garante nada.

Por que AAA e LLA não funcionam?

Nem toda combinação de três elementos serve. Dois enganos aparecem sempre:

• AAA (três ângulos): ângulos iguais garantem só a mesma forma, não o tamanho. Um triângulo e uma ampliação dele têm os mesmos ângulos, mas tamanhos diferentes. Isso é semelhança, um tópico logo à frente na trilha, e não congruência.
• LLA (dois lados e um ângulo não incluído): quando o ângulo não fica entre os dois lados, às vezes dá para montar dois triângulos diferentes com os mesmos dados. Por ser ambíguo, LLA não é um caso geral.

Na semelhança, os lados ficam proporcionais: a forma é a mesma e só o tamanho muda. Toda figura congruente também é semelhante, mas a volta não vale, porque uma figura semelhante pode ter outro tamanho.

O caso especial dos triângulos retângulos

Nos triângulos retângulos existe um atalho a mais, o caso cateto-hipotenusa. Se dois triângulos retângulos têm a hipotenusa igual e um cateto igual, eles são congruentes.

A razão é o teorema de Pitágoras: com a hipotenusa e um cateto fixos, o outro cateto já está determinado. Ou seja, o terceiro lado não tem escolha, e caímos de volta no caso LLL.

Como escrever a congruência corretamente

Escrever △ABC ≅ △DEF não é só dizer que os triângulos são iguais. A ordem das letras conta uma história: cada vértice do primeiro triângulo corresponde ao vértice na mesma posição do segundo.

Isso significa que os lados correspondentes também ficam definidos: AB corresponde a DE, BC a EF e CA a FD. Por isso, ao escrever a congruência, mantenha os vértices correspondentes na mesma ordem, senão a notação diz algo errado.

Estabelecida a congruência, todos os elementos correspondentes que você ainda não usou também são iguais. É assim que a congruência serve para descobrir medidas: se dois triângulos são congruentes e você conhece um lado ou um ângulo de um deles, o elemento correspondente do outro tem exatamente a mesma medida.

Para que serve a congruência?

A congruência garante que duas figuras têm exatamente as mesmas medidas, e isso aparece em situações teóricas e práticas:

• Demonstrações: muitas propriedades, como os ângulos da base de um triângulo isósceles serem iguais, são provadas mostrando que dois triângulos são congruentes.
• Construções: garantir que duas partes de um desenho ou de uma peça tenham exatamente a mesma medida.
• Fabricação: peças que precisam encaixar, como engrenagens e telhas, dependem de serem congruentes.
• Mapas e plantas: repetir uma mesma forma em posições diferentes sem mudar o tamanho.

Resumo

• Dois triângulos são congruentes quando têm a mesma forma e o mesmo tamanho (△ABC ≅ △DEF).
• Os casos que garantem a congruência são LLL, LAL, ALA e LAAo.
• AAA garante só a forma (semelhança), e LLA é ambíguo: nenhum dos dois é caso de congruência.
• Nos triângulos retângulos vale o caso especial cateto-hipotenusa.
• A ordem das letras na notação indica os vértices correspondentes.