Polígonos

A placa de PARE é um octógono, a de "dê a preferência" é um triângulo e a maioria das janelas é um retângulo. Todas são polígonos: figuras fechadas feitas só de segmentos de reta. Depois de ver ponto, reta e plano, ângulos e retas paralelas e perpendiculares, agora esses pedaços se juntam numa forma só.

O que é um polígono?

Um polígono é uma figura plana e fechada formada apenas por segmentos de reta, ligados ponta a ponta, sem que dois lados se cruzem. A palavra vem do grego e quer dizer "muitos ângulos".

Uma figura só é polígono se fechar completamente e se todos os seus lados forem retos. Um círculo não é polígono, porque sua borda é curva. Uma linha que não se fecha também não é, porque sobra uma abertura.

Quais são os elementos de um polígono?

Todo polígono é feito das mesmas peças: lados, vértices, ângulos e diagonais.

• Lados: os segmentos de reta que formam o contorno.
• Vértices: os pontos onde dois lados se encontram. Um polígono tem sempre o mesmo número de lados e de vértices.
• Ângulos internos: os ângulos formados por dois lados vizinhos, medidos por dentro da figura.
• Ângulos externos: os ângulos entre um lado e o prolongamento do lado vizinho.
• Diagonais: os segmentos que ligam dois vértices que não são vizinhos.
• Perímetro: a soma das medidas de todos os lados. Num polígono regular de n lados, basta multiplicar a medida de um lado por n.

Como os polígonos são nomeados pelo número de lados?

Cada polígono ganha um nome de acordo com quantos lados tem: três lados formam um triângulo, quatro um quadrilátero, cinco um pentágono, seis um hexágono, sete um heptágono, oito um octógono, nove um eneágono e dez um decágono. Daí em diante os nomes seguem prefixos gregos; um de vinte lados, por exemplo, é um icoságono.

Mude o número de lados no explorador abaixo e veja o nome, o total de diagonais e a soma dos ângulos mudarem junto. Ligue as diagonais para entender de onde saem os cálculos.

Qual a diferença entre polígono convexo e côncavo?

Um polígono é convexo quando todos os seus ângulos internos medem menos de 180°, e côncavo quando pelo menos um passa de 180°. No convexo, nenhum canto aponta para dentro; no côncavo, existe uma reentrância, como se a figura tivesse uma "mordida".

Um jeito rápido de testar: num polígono convexo, qualquer diagonal fica inteiramente dentro da figura. Num côncavo, pelo menos uma diagonal escapa para fora.

O que é um polígono regular?

Um polígono que tem todos os lados iguais é chamado de equilátero; um que tem todos os ângulos iguais é equiângulo. Um polígono regular precisa ser as duas coisas ao mesmo tempo, não basta uma só.

O quadrado é regular, porque tem quatro lados iguais e quatro ângulos de 90°. Já um losango que não é quadrado é equilátero (lados iguais), mas não equiângulo (ângulos diferentes), então não é regular. O contrário também acontece: um retângulo que não é quadrado é equiângulo (quatro ângulos de 90°), mas não equilátero, e por isso também não é regular. Num polígono regular de n lados, cada ângulo interno mede a soma dividida por n.

O oposto do regular é o polígono irregular: basta que um lado ou um ângulo seja diferente dos demais para a figura entrar nesse grupo. É o caso do losango que não é quadrado, com lados iguais mas ângulos diferentes.

Como calcular a soma dos ângulos internos?

A soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é S = (n − 2) × 180°. A ideia por trás disso é simples: dá para cortar qualquer polígono em triângulos, puxando diagonais a partir de um vértice, e cada triângulo contribui com 180°.

Um polígono de n lados se divide em exatamente (n − 2) triângulos. Por isso um quadrilátero (n = 4) dá 2 × 180° = 360°, e um pentágono (n = 5) dá 3 × 180° = 540°. Como num polígono regular todos os ângulos internos são iguais, basta dividir essa soma por n para achar cada um.

Quanto vale a soma dos ângulos externos?

A soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo é sempre 360°, não importa quantos lados ele tenha. É como dar uma volta completa: ao caminhar pela borda do polígono, você gira um pouco em cada vértice, e no fim completou um giro inteiro de 360°.

Por isso, num polígono regular de n lados, cada ângulo externo mede 360° ÷ n. No triângulo equilátero cada externo tem 120°; no quadrado, 90°.

Quantas diagonais tem um polígono?

O número de diagonais de um polígono de n lados é d = n × (n − 3) ÷ 2. De cada vértice saem diagonais para todos os outros, menos para ele mesmo e para os dois vizinhos, e a divisão por 2 evita contar a mesma diagonal duas vezes.

Um pentágono tem 5 × 2 ÷ 2 = 5 diagonais; um hexágono tem 6 × 3 ÷ 2 = 9. O triângulo é o único polígono sem diagonais, porque todos os seus vértices são vizinhos.

Onde os polígonos aparecem

• Triângulos: telhados, treliças e placas de trânsito de advertência.
• Quadriláteros: janelas, telas, folhas de papel e a maioria dos cômodos.
• Hexágonos: favos de mel e azulejos que se encaixam sem deixar falha.
• Octógonos: a placa de PARE, reconhecível só pelo formato.

Resumo

• Um polígono é uma figura plana e fechada feita só de segmentos de reta.
• Os elementos são lados, vértices, ângulos internos e externos, diagonais e perímetro.
• O nome vem do número de lados: triângulo, quadrilátero, pentágono, e assim por diante.
• Convexo tem todos os ângulos internos menores que 180°; côncavo tem pelo menos um maior.
• Regular é o que tem lados e ângulos todos iguais (equilátero e equiângulo ao mesmo tempo).
• Soma dos internos: (n − 2) × 180°. Soma dos externos: 360° (convexo). Diagonais: n(n − 3) ÷ 2.