Vetores no plano

Um avião voa a 800 km/h para o nordeste, uma força empurra a caixa para a direita, o barco é levado pela correnteza. Nenhuma dessas grandezas cabe em um único número: elas têm intensidade e direção ao mesmo tempo. É para isso que servem os vetores no plano cartesiano: ali eles viram pares de números fáceis de calcular.

O que é um vetor?

Um vetor é um segmento de reta orientado, ou seja, uma seta. Ele serve para representar grandezas que não cabem em um número só, porque dependem também de uma direção, como a força, a velocidade e o deslocamento. As grandezas que cabem em um só número com a sua unidade, como a massa, a temperatura e o tempo, são chamadas de grandezas escalares; as que precisam também de direção e sentido, como a força e a velocidade, são as grandezas vetoriais, representadas por vetores.

Todo vetor tem três características:

• Módulo: o comprimento da seta, que mede a sua intensidade.
• Direção: a reta que sustenta a seta, isto é, a sua inclinação.
• Sentido: o lado para o qual a seta aponta.

Uma mesma direção comporta dois sentidos. Os vetores (3, 0) e (−3, 0), por exemplo, têm a mesma direção horizontal, mas apontam para lados contrários.

As componentes de um vetor

No plano cartesiano, um vetor é descrito por suas componentes, um par (x, y) que diz quanto ele anda na horizontal e na vertical:

• v = (x, y).

O mesmo vetor também pode ser escrito como v = x·i + y·j, usando os vetores unitários i = (1, 0) e j = (0, 1), que apontam nas direções dos eixos e têm módulo 1. Quando o vetor liga o ponto A ao ponto B, suas componentes saem da diferença das coordenadas: AB = B − A = (xB − xA, yB − yA). Dois vetores com as mesmas componentes são iguais, mesmo que estejam desenhados em lugares diferentes do plano.

No explorador abaixo, arraste as pontas dos vetores u e v e veja a soma aparecer pela regra do paralelogramo.

O módulo de um vetor

O módulo de um vetor é o seu comprimento, e ele se calcula igual à distância entre dois pontos. Para v = (x, y), as componentes são os catetos de um triângulo retângulo, e o módulo é a hipotenusa:

• |v| = √(x² + y²).

Por exemplo, o módulo de v = (3, 4) é √(3² + 4²) = √25 = 5. O módulo é sempre um número positivo ou zero, e só o vetor nulo (0, 0) tem módulo zero. Um vetor de módulo 1 chama-se vetor unitário (ou versor). Para achar o versor de um vetor, divide-se cada componente pelo seu módulo: como v = (3, 4) tem módulo 5, o seu versor é (3/5, 4/5), que aponta na mesma direção e tem comprimento 1.

Soma de vetores

Para somar dois vetores, somam-se as componentes correspondentes:

• (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2).

Por exemplo, (2, 1) + (3, 5) = (5, 6). No desenho, isso é a regra do paralelogramo: colocando os dois vetores saindo do mesmo ponto, a soma é a diagonal do paralelogramo que eles formam. Dá no mesmo colocar um vetor na ponta do outro (a regra do triângulo) e ligar o início do primeiro à ponta do segundo.

Multiplicação por um escalar

Multiplicar um vetor por um número (um escalar) estica ou encolhe a seta:

• k · (x, y) = (kx, ky).

O módulo fica multiplicado por |k|. Se k é positivo, o sentido se mantém; se k é negativo, o sentido se inverte. Por exemplo, 2 · (3, 1) = (6, 2) tem o dobro do comprimento, e −1 · (3, 1) = (−3, −1) aponta para o lado contrário.

Vetor oposto e subtração

O vetor oposto de v é −v = (−x, −y): mesma direção e módulo, sentido trocado. Com ele, a subtração vira uma soma: u − v = u + (−v) = (x_u − x_v, y_u − y_v). Por exemplo, (5, 2) − (1, 3) = (4, −1).

Produto escalar

Há ainda uma forma de multiplicar dois vetores que devolve um número (um escalar). É o produto escalar:

• u · v = x1·x2 + y1·y2.

Por exemplo, para u = (2, 3) e v = (4, 1), temos u · v = 2·4 + 3·1 = 8 + 3 = 11. O produto escalar mede o quanto dois vetores apontam para o mesmo lado: quando ele dá zero, os vetores são perpendiculares. Assim, u = (2, 1) e v = (−1, 2) são perpendiculares, porque u · v = 2·(−1) + 1·2 = 0.

Onde os vetores aparecem?

• Física: força, velocidade, aceleração e deslocamento são todos vetores.
• Jogos e animação: a posição e o movimento de cada objeto são guardados como vetores.
• Navegação: rota e vento se combinam somando vetores.
• Computação gráfica: iluminação e câmeras dependem de contas com vetores.

Resumo

• Um vetor é uma seta com módulo, direção e sentido, escrita por componentes v = (x, y).
• O módulo é |v| = √(x² + y²), o mesmo cálculo da distância entre dois pontos.
• O vetor de A até B é AB = B − A = (xB − xA, yB − yA).
• A soma faz-se componente a componente e corresponde à regra do paralelogramo.
• Multiplicar por um escalar k dá (kx, ky): muda o módulo e, se k < 0, o sentido.