Aponte uma lanterna para a parede, bem de frente, e você vê um círculo de luz. Incline a lanterna aos poucos e o círculo se estica em uma elipse, depois se abre em uma parábola e, por fim, em uma hipérbole. Essas curvas são as cônicas: a elipse, a parábola e a hipérbole (a circunferência é um caso especial da elipse). Todas nascem de cortar um cone com um plano.
As cônicas são a elipse, a parábola e a hipérbole (a circunferência é um caso da elipse). A elipse tem a soma das distâncias aos focos constante, a parábola tem cada ponto à mesma distância do foco e da diretriz, e a hipérbole tem a diferença das distâncias aos focos constante.
O que são as cônicas e de onde vêm?
As cônicas, também chamadas de seções cônicas, são as curvas que se formam quando um plano corta um cone. Dependendo da inclinação do corte, aparece uma curva diferente: um círculo, uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole. O círculo aparece no corte mais reto de todos, quando o plano fica perpendicular ao eixo do cone. Se o plano passa exatamente pelo vértice do cone, o corte não gera uma curva cheia, mas sim um ponto, uma reta ou duas retas que se cruzam, as chamadas cônicas degeneradas. Essas curvas foram estudadas há mais de 2 000 anos por Apolônio de Perga, matemático grego que lhes deu os nomes elipse, parábola e hipérbole que usamos até hoje.
Cada cônica tem uma definição própria pela distância a pontos fixos chamados focos. No explorador abaixo, escolha uma cônica e veja a sua forma, os seus focos e a sua equação.
Equação reduzida: x²/16 + y²/9 = 1
A soma das distâncias de cada ponto aos dois focos é constante.
Focos em (±√7, 0), sobre o eixo maior.
Escolha entre elipse, parábola e hipérbole. Os pontos verdes são os focos; na parábola, a linha tracejada é a diretriz e, na hipérbole, as tracejadas são as assíntotas. O painel mostra a equação reduzida e a definição de cada uma.
A elipse e sua equação
A elipse é o conjunto dos pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos, os focos, é sempre a mesma. É a forma de uma órbita de planeta e de um campo de futebol arredondado.
No plano cartesiano, com o centro na origem e o eixo maior sobre o eixo x, sua equação reduzida é:
- x²/a² + y²/b² = 1, com a > b.
Aqui 2a é o comprimento do eixo maior, e os focos ficam em (±c, 0), onde c² = a² − b². A circunferência é o caso especial em que a = b: os dois focos se juntam no centro.
A parábola e sua equação
A parábola é o conjunto dos pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo (o foco) e de uma reta fixa (a diretriz). Com o vértice na origem e o eixo sobre o eixo y, sua equação é:
- x² = 4py, com foco (0, p) e diretriz y = −p.
Essa é a curva que uma bola descreve ao ser lançada e o formato das antenas e dos faróis, que concentram tudo o que chega no foco.
A hipérbole e sua equação
A hipérbole é o conjunto dos pontos cujo módulo da diferença das distâncias a dois focos é constante e igual a 2a, o mesmo a que aparece embaixo do x² na equação reduzida, assim como acontece na elipse. Ela tem dois ramos separados: para os dois aparecerem, o plano precisa cortar as duas folhas de um cone duplo (duas pontas unidas pelo vértice). Com centro na origem, sua equação reduzida é:
- x²/a² − y²/b² = 1, com focos em (±c, 0) e c² = a² + b².
Os ramos se aproximam de duas retas chamadas assíntotas, de equações y = ±(b/a)x, sem nunca tocá-las.
As equações acima valem quando a cônica está "deitada" no eixo x. Cada uma tem uma irmã com os eixos trocados: a elipse com o eixo maior sobre y é x²/b² + y²/a² = 1 (o maior denominador fica embaixo do y²); a parábola de eixo horizontal é y² = 4px; e a hipérbole que abre para cima e para baixo é y²/a² − x²/b² = 1. Numa questão, o primeiro passo é descobrir sobre qual eixo a curva está.
A excentricidade
Um único número distingue as três cônicas: a excentricidade e, que mede o quanto a curva é fechada ou aberta. Na elipse e na hipérbole ela vale e = c/a; na parábola vale 1 por definição, já que todo ponto está à mesma distância do foco e da diretriz.
- Circunferência: e = 0.
- Elipse: 0 < e < 1 (quanto mais perto de 1, mais achatada).
- Parábola: e = 1.
- Hipérbole: e > 1.
Onde as cônicas aparecem?
- Astronomia: os planetas percorrem órbitas elípticas, com o Sol em um foco.
- Antenas e faróis: a parábola concentra os sinais ou os raios no foco.
- Lançamentos: a trajetória de um projétil é um arco de parábola.
- Navegação: sistemas de localização por diferença de distância usam hipérboles.
Por causa dessas aplicações, as cônicas aparecem com frequência no ENEM e nos vestibulares, quase sempre pedindo focos, excentricidade ou a equação a partir de uma situação real.
Exercícios
Tente resolver antes de ver a resposta.
- Exercício 1
Qual é a soma das distâncias de um ponto da elipse x²/25 + y²/9 = 1 aos seus dois focos?
- Exercício 2
Quais são os focos da elipse x²/25 + y²/9 = 1?
- Exercício 3
Qual é o foco e a diretriz da parábola x² = 8y?
- Exercício 4
Quais são as assíntotas da hipérbole x²/9 − y²/16 = 1?
- Exercício 5
Qual é a excentricidade de uma elipse com a = 5 e c = 3?
- Exercício 6
(Aplicação) A seção de uma antena parabólica segue a equação x² = 12y, com as medidas em metros. O receptor precisa ficar exatamente no foco. A que altura do vértice ele deve ser instalado?
Resumo
- As cônicas são a elipse, a parábola e a hipérbole, curvas obtidas ao cortar um cone com um plano.
- A elipse tem a soma das distâncias aos focos constante: x²/a² + y²/b² = 1, com c² = a² − b².
- A parábola tem cada ponto à mesma distância do foco e da diretriz: x² = 4py.
- A hipérbole tem a diferença (em módulo) das distâncias aos focos constante: x²/a² − y²/b² = 1, com c² = a² + b².
- A excentricidade e = c/a distingue as três: menor que 1, igual a 1 ou maior que 1.
As cônicas fecham a geometria analítica da trilha. Falta um último tópico, que vira do avesso tudo o que vimos: a geometria não euclidiana, onde as paralelas se encontram. Enquanto ele não sai, volte à página inicial para rever o caminho.