Equação da circunferência

Uma antena de celular alcança todos os pontos até certa distância, um radar varre um círculo em torno de si, o compasso desenha o contorno perfeito. Toda circunferência é definida por um centro e um raio, e no plano cartesiano isso vira a equação da circunferência. Depois da circunferência e do círculo e da equação da reta, agora damos coordenadas às curvas, entrando de vez na geometria analítica.

Qual é a equação da circunferência?

A equação da circunferência de centro (a, b) e raio r é (x − a)² + (y − b)² = r²: uma única igualdade que reúne todos os pontos (x, y) situados exatamente à distância r do centro.

A circunferência é o conjunto dos pontos que estão a uma distância fixa r, o raio, de um ponto fixo (a, b), o centro. Escrever isso em coordenadas dá a equação reduzida:

• (x − a)² + (y − b)² = r².

Cada ponto (x, y) que satisfaz essa igualdade está sobre a circunferência, e nenhum outro. Os três números (a, b) e r controlam tudo: o par (a, b) diz onde está o centro, e r diz o tamanho.

No explorador abaixo, mude o centro e o raio e veja a equação acompanhar.

De onde vem a equação?

A equação não é uma regra decorada: ela é a fórmula da distância aplicada à definição da circunferência.

Todo ponto (x, y) da circunferência está à distância r do centro (a, b). Pela fórmula da distância, isso quer dizer:

• √((x − a)² + (y − b)²) = r.

Elevando os dois lados ao quadrado para sumir com a raiz, chega-se à equação reduzida (x − a)² + (y − b)² = r². No fundo, é o teorema de Pitágoras: (x − a) e (y − b) são os catetos de um triângulo retângulo e o raio r é a hipotenusa, por isso a equação tem a cara de a² + b² = c². É o mesmo espírito da reta: a geometria vira álgebra.

Circunferência com centro na origem

Quando o centro é a própria origem, (a, b) = (0, 0), a equação fica bem mais simples:

• x² + y² = r².

Essa é a forma que mais aparece nos primeiros exercícios. Por exemplo, x² + y² = 25 é a circunferência de centro na origem e raio 5, porque 25 = 5².

A equação geral

Se você desenvolver os quadrados da equação reduzida, os termos se rearranjam na equação geral:

• x² + y² + Dx + Ey + F = 0.

De fato, desenvolvendo (x − a)² + (y − b)² = r² vem x² − 2ax + a² + y² − 2by + b² = r², e passando tudo para o mesmo lado: x² + y² − 2ax − 2by + (a² + b² − r²) = 0. Comparando com x² + y² + Dx + Ey + F = 0, dá para ler direto que D = −2a, E = −2b e F = a² + b² − r², e é daí que saem as fórmulas do centro (−D/2, −E/2) e do raio.

A partir dela, dá para recuperar o centro e o raio: o centro é (−D/2, −E/2), e o raio sai de r² = (D/2)² + (E/2)² − F. Mas nem toda equação desse tipo é uma circunferência. Para valer, ela precisa passar por duas condições: os coeficientes de x² e de y² têm de ser iguais (aqui, ambos valem 1) e não pode aparecer termo em xy. Cumpridas essas condições, ainda é preciso que o r² dê positivo: se der zero, a equação descreve um único ponto; se der negativo, não existe circunferência nenhuma.

Da equação geral de volta ao centro e ao raio

Na prova, o mais comum é receber a circunferência já na forma geral e ter que achar o centro e o raio. Em vez de decorar a fórmula, dá para completar quadrados: agrupam-se os termos de x e os de y, e cada grupo vira um quadrado perfeito.

Veja com x² + y² − 6x + 2y + 6 = 0:

• Agrupe e passe o termo independente para o outro lado: (x² − 6x) + (y² + 2y) = −6.
• Complete cada quadrado somando o quadrado da metade do coeficiente do termo linear. A metade de −6 é −3, e (−3)² = 9; a metade de 2 é 1, e 1² = 1. Some 9 e 1 nos dois lados: (x² − 6x + 9) + (y² + 2y + 1) = −6 + 9 + 1.
• Fatore os trinômios quadrados perfeitos: (x − 3)² + (y + 1)² = 4.

Agora é só ler: o centro é (3, −1) e o raio é √4 = 2, o mesmo resultado da fórmula (−D/2, −E/2), só que sem decorar nada.

Um ponto está dentro, fora ou sobre a circunferência?

A equação também diz onde um ponto está em relação à circunferência. Basta substituir as coordenadas do ponto em (x − a)² + (y − b)² e comparar com r²:

• Igual a r²: o ponto está sobre a circunferência.
• Menor que r²: o ponto está dentro (mais perto do centro).
• Maior que r²: o ponto está fora.

Por exemplo, na circunferência (x − 2)² + (y − 3)² = 25, o ponto (5, 3) dá (5 − 2)² + (3 − 3)² = 9, que é menor que 25, então ele está dentro.

Onde a equação da circunferência aparece?

• GPS: a posição é achada cruzando circunferências de alcance de vários satélites.
• Radar e sonar: medem distâncias que desenham circunferências em torno do aparelho.
• Computação gráfica: desenhar e detectar colisões de objetos redondos usa essa equação.
• Engenharia: peças, engrenagens e trajetórias circulares são descritas por ela.

Resumo

• A equação reduzida de uma circunferência de centro (a, b) e raio r é (x − a)² + (y − b)² = r².
• Com o centro na origem, ela vira x² + y² = r².
• Desenvolvida, ela é a equação geral x² + y² + Dx + Ey + F = 0, com centro (−D/2, −E/2).
• A equação vem da fórmula da distância, porque todo ponto está a distância r do centro.
• Um ponto está dentro, sobre ou fora conforme (x − a)² + (y − b)² seja menor, igual ou maior que r².