Cilindros

Uma lata de refrigerante, um cano de água, um rolo de papel-toalha, um tanque de combustível. Todos têm a mesma forma: dois círculos iguais nas pontas e uma parede curva no meio. Esse é o cilindro, o primeiro dos corpos redondos que vamos medir depois da introdução à geometria espacial.

O que é um cilindro?

Um cilindro é um corpo redondo formado por duas bases circulares paralelas e congruentes, ligadas por uma superfície lateral curva. Pense numa moeda esticada para cima: a base de baixo e a de cima são círculos iguais, e a parede que as une é lisa e curva.

O cilindro também é um sólido de revolução: se você girar um retângulo em torno de um dos seus lados, o caminho varrido no espaço é exatamente um cilindro. Por isso ele lembra tanto o prisma, só que com base redonda em vez de poligonal.

No explorador abaixo, mude o raio e a altura e veja as áreas e o volume acompanharem.

Elementos de um cilindro

Um cilindro reúne os seguintes elementos:

• Bases: os dois círculos congruentes e paralelos, de raio r.
• Superfície lateral: a parede curva que liga as bases.
• Altura (h): a distância entre os planos das duas bases.
• Geratriz: cada segmento da superfície lateral que une um ponto da borda de uma base ao ponto correspondente da outra, paralelo ao eixo.
• Eixo: o segmento que une os centros das duas bases.

Num cilindro reto, a geratriz é perpendicular às bases, então ela tem exatamente a mesma medida que a altura.

Cilindro reto, oblíquo e equilátero

Os cilindros se distinguem pela inclinação e pelas proporções:

• Cilindro reto: a geratriz é perpendicular às bases. É o cilindro de revolução, o mais comum.
• Cilindro oblíquo: a geratriz é inclinada, e a altura fica menor que a geratriz.
• Cilindro equilátero: um cilindro reto em que a altura é igual ao diâmetro da base, ou seja, h = 2r. A secção que passa pelo eixo é um quadrado.

A partir daqui, as fórmulas de área e volume valem para o cilindro reto, que é o que aparece na maioria dos problemas.

Secções do cilindro

Cortar o cilindro com um plano revela figuras já conhecidas:

• Secção transversal: o corte é paralelo às bases e devolve um círculo igual a elas, de raio r.
• Secção meridiana: o corte passa pelo eixo e produz um retângulo de base 2r (o diâmetro) e altura h. A sua área vale 2r·h.

É essa secção meridiana que explica o cilindro equilátero: quando h = 2r, o retângulo 2r por h vira um quadrado de lado 2r.

A planificação do cilindro

A melhor forma de entender a área do cilindro é abri-lo sobre uma mesa. Ao planificar um cilindro reto, aparecem três peças: os dois círculos das bases e um retângulo da superfície lateral.

O detalhe importante é o tamanho desse retângulo. A sua altura é a altura h do cilindro, e a sua largura é o comprimento da circunferência da base, que vale 2πr. É daí que sai a fórmula da área lateral: um retângulo de lados 2πr e h.

Como calcular a área do cilindro?

A área total do cilindro é a soma da superfície lateral com as duas bases: A_total = 2πr(h + r). Com a planificação em mãos, cada parcela fica direta:

• Área lateral: a área do retângulo, A_lateral = 2πr·h.
• Área da base: a área de cada círculo, A_base = πr².
• Área total: a lateral mais as duas bases, A_total = 2πr·h + 2πr² = 2πr(h + r).

Por exemplo, num cilindro de raio 5 e altura 10, a área lateral é 2 × 3,14 × 5 × 10 = 314.

Como calcular o volume do cilindro?

O volume do cilindro é a área da base vezes a altura: V = πr²·h. Ele segue a mesma ideia do prisma.

• V = πr²·h.

Como a base é um círculo, a sua área é πr², e multiplicando pela altura chega-se ao volume. Num cilindro de raio 3 e altura 4, o volume é 3,14 × 9 × 4 = 113,04.

Quando o recipiente guarda líquido, o volume vira capacidade: como 1 litro equivale a 1 dm³ (isto é, 1000 cm³), um volume calculado em dm³ já dá diretamente a capacidade em litros.

Onde os cilindros aparecem?

• Embalagens: latas de refrigerante, de leite condensado e de tinta.
• Encanamento: canos, tubos e mangueiras conduzem água e gás.
• Armazenamento: tanques, silos e reservatórios de combustível.
• Objetos: copos, velas, pilhas e rolos de papel.

Resumo

• Um cilindro tem duas bases circulares iguais ligadas por uma superfície lateral curva.
• Ele é um sólido de revolução, gerado pela rotação de um retângulo.
• Planificado, vira dois círculos e um retângulo de largura 2πr e altura h.
• A área total é 2πr(h + r), e a área lateral é 2πr·h.
• O volume é a área da base vezes a altura: V = πr²·h.