Pirâmides

As pirâmides do Egito atravessaram milênios, uma barraca de acampamento fecha em ponta, um telhado piramidal sobe até um único ponto no alto. Todas essas formas terminam num bico, e é isso que define a pirâmide. Depois dos prismas, este é o segundo grande sólido da geometria espacial, e o seu volume guarda uma surpresa.

O que é uma pirâmide na geometria espacial?

Uma pirâmide é um poliedro formado por uma única base poligonal e por faces laterais triangulares que se encontram todas num mesmo ponto, o vértice, também chamado de ápice. Enquanto o prisma tem duas bases paralelas e iguais, ligadas por faces laterais, a pirâmide tem uma só, e as paredes sobem estreitando até fechar numa ponta.

Assim como nos prismas, a pirâmide recebe o nome do polígono da base. Se a base é um triângulo, temos uma pirâmide triangular; se é um quadrado, uma pirâmide quadrangular, como as do Egito.

No explorador abaixo, mude o lado da base e a altura e veja o volume acompanhar.

Elementos de uma pirâmide

Uma pirâmide reúne os seguintes elementos:

• Base: o polígono que apoia a pirâmide e lhe dá o nome.
• Vértice: o ponto onde todas as faces laterais se encontram.
• Faces laterais: os triângulos que ligam cada lado da base ao vértice.
• Arestas: os lados da base e as arestas laterais que sobem até o vértice.
• Altura: a distância do vértice ao plano da base.

Uma pirâmide de base com n lados tem n + 1 faces, 2n arestas e n + 1 vértices. Numa pirâmide de base quadrada, por exemplo, são 5 faces, 8 arestas e 5 vértices.

Pirâmide reta e oblíqua

Quando o vértice fica diretamente acima do centro da base, a altura cai bem no meio e a pirâmide é reta. Se o vértice está deslocado para o lado, a altura cai fora do centro e a pirâmide é oblíqua, como uma barraca torta. Toda pirâmide regular é reta e ainda tem a base num polígono regular.

Pirâmide regular

Uma pirâmide é regular quando a base é um polígono regular e o vértice fica exatamente sobre o centro da base.

Nesse caso, todas as arestas laterais têm o mesmo comprimento, e as faces laterais são triângulos isósceles congruentes. É a pirâmide mais simétrica e a mais comum nos exercícios, porque as suas medidas se organizam em torno do centro.

O apótema da pirâmide

Numa pirâmide regular, dois apótemas trabalham juntos:

• Apótema da base (m): a distância do centro da base até o meio de um lado.
• Apótema da pirâmide (g): a distância do vértice até o meio de uma aresta da base, que é a altura de uma face lateral.

A altura h, o apótema da base m e o apótema da pirâmide g formam um triângulo retângulo, então vale o teorema de Pitágoras:

• g² = h² + m².

Por exemplo, se a altura é 8 e o apótema da base é 6, o apótema da pirâmide é g = √(64 + 36) = √100 = 10.

Área da pirâmide

Se você planificar a pirâmide, isto é, abrir as suas faces num plano, a superfície aparece em duas partes: as faces laterais e a base.

• Área lateral: a soma dos triângulos laterais. Numa pirâmide regular, ela é o perímetro da base vezes o apótema da pirâmide, dividido por dois: A_lateral = (perímetro × g) ÷ 2.
• Área total: a área lateral mais a base: A_total = A_lateral + A_base.

Por exemplo, numa pirâmide regular de base quadrada de lado 6 cm com apótema da pirâmide g = 5 cm, o perímetro da base é 4 × 6 = 24 cm. A área lateral é (24 × 5) ÷ 2 = 60 cm², e, como a área da base é 36 cm², a área total é 60 + 36 = 96 cm².

Você calcula a área da base como uma figura plana qualquer e soma com os triângulos das paredes.

Volume da pirâmide

Aqui está a surpresa: a pirâmide não ocupa metade do prisma, e sim um terço.

• V = (1/3) × área da base × altura.

Três pirâmides de mesma base e mesma altura enchem exatamente o prisma correspondente. Por isso o volume da pirâmide é sempre um terço do volume do prisma, e essa fórmula vale tanto para a pirâmide reta quanto para a oblíqua.

Numa pirâmide de base quadrada de lado 6 e altura 10, a área da base é 36, e o volume é (1/3) × 36 × 10 = 120.

O tetraedro

A pirâmide de base triangular tem um nome especial: tetraedro, que quer dizer "quatro faces". Ele é a pirâmide mais simples, porque tanto a base quanto as três faces laterais são triângulos.

Quando as quatro faces são triângulos equiláteros iguais, ele é um tetraedro regular, um dos cinco sólidos de Platão. É a única pirâmide em que qualquer uma das faces pode servir de base, já que todas as quatro são triângulos.

Tronco de pirâmide

Se você cortar a ponta de uma pirâmide com um plano paralelo à base, a parte de baixo que sobra é um tronco de pirâmide. Ele tem duas bases paralelas e diferentes: a base original, maior, e a base menor do corte. O seu volume é o da pirâmide inteira menos o da pequena pirâmide retirada no topo.

Onde as pirâmides aparecem?

• Monumentos: as pirâmides do Egito e as construções maias são pirâmides de base quadrada.
• Arquitetura: telhados, torres e a pirâmide de vidro do Louvre.
• Objetos: barracas, algumas embalagens e peças de decoração.
• Química: algumas moléculas têm átomos arranjados em forma de tetraedro.

Resumo

• Uma pirâmide tem uma base poligonal e faces laterais triangulares que sobem até um vértice.
• Ela recebe o nome do polígono da base e pode ser regular quando o vértice está sobre o centro.
• Na pirâmide regular, o apótema segue g² = h² + m².
• A área total é a área lateral mais a base.
• O volume é um terço do prisma correspondente: V = (1/3) × área da base × altura.