Introdução à geometria espacial

Uma folha de papel é quase um plano: tem comprimento e largura, mas nenhuma espessura de verdade. O mundo em que a gente vive é diferente, porque tem uma terceira medida, a altura, e é dela que nascem os prédios, as caixas e as bolas. A geometria espacial é o estudo dessas figuras que saem do papel, e ela começa com os mesmos ponto, reta e plano de antes.

O que é a geometria espacial?

A geometria espacial é a parte da geometria que estuda as figuras no espaço de três dimensões. Enquanto a geometria plana vive numa superfície lisa, de comprimento e largura, a espacial acrescenta a altura e trabalha com objetos que ocupam volume.

Ela usa os mesmos elementos básicos de sempre: o ponto, a reta e o plano. A diferença é que agora eles moram no espaço, onde há muito mais liberdade de posição.

Duas perguntas guiam quase tudo na geometria espacial: quanta superfície o sólido tem por fora (a sua área) e quanto espaço ele ocupa por dentro (o seu volume). Medir a área e o volume dos sólidos é, aliás, um dos assuntos que mais aparecem no ENEM e nos vestibulares. As fórmulas de cada figura vêm nos próximos tópicos; por enquanto, basta saber que é para responder a essas duas perguntas que estudamos cada sólido.

Use o explorador abaixo para girar entre os principais sólidos e ver a classificação de cada um.

Do plano ao espaço: a terceira dimensão

No plano, cada ponto é localizado por duas medidas, como o comprimento e a largura de uma folha. No espaço, entra uma terceira medida, a altura, e por isso dizemos que ele tem três dimensões.

É essa dimensão a mais que transforma um quadrado em um cubo e um círculo em uma esfera. As figuras planas, como as de área de figuras planas, continuam existindo: elas são as faces e as secções dos sólidos.

Posições relativas no espaço

No espaço, retas e planos podem se arranjar de várias maneiras. Vale a pena conhecer as principais.

Duas retas podem ser:

• Paralelas: estão no mesmo plano e nunca se cruzam.
• Concorrentes: se cruzam em um único ponto, como as retas concorrentes do plano.
• Reversas: não se cruzam e não são paralelas, porque estão em planos diferentes. Essa possibilidade só existe no espaço.

Num único plano, duas retas só têm dois destinos: ou se cruzam ou seguem paralelas. As reversas escapam dessa conta justamente por não caberem no mesmo plano.

Dois planos, por sua vez, ou são paralelos (não se tocam) ou são secantes (se cruzam ao longo de uma reta). E uma reta em relação a um plano pode estar contida nele, ser paralela a ele ou furá-lo em um único ponto.

Sólidos geométricos: poliedros e corpos redondos

Os sólidos geométricos se dividem em duas grandes famílias, de acordo com a sua superfície:

• Poliedros: têm a superfície formada só por polígonos planos. O cubo, o prisma e a pirâmide são poliedros.
• Corpos redondos: têm alguma superfície curva. O cilindro, o cone e a esfera são corpos redondos.

A palavra poliedro vem do grego e quer dizer "muitas faces". Entre os poliedros existe um grupo especial, os poliedros regulares, também chamados de poliedros de Platão: são apenas cinco (o tetraedro, o cubo ou hexaedro, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro), e em cada um todas as faces são polígonos regulares iguais. O dado comum de seis lados é justamente um cubo, e os dados de RPG com 4, 8, 12 e 20 lados são os outros quatro. Já os corpos redondos também são chamados de sólidos de revolução, porque cada um pode ser gerado girando uma figura plana em torno de um eixo.

Planificação: o sólido aberto no plano

Se recortarmos as arestas de uma caixa de papelão e a abrirmos sobre a mesa, ela vira um desenho plano formado pelos seus polígonos. Esse desenho é a planificação do sólido, e mostra todas as faces de uma vez, lado a lado. A planificação é uma ponte direta entre a geometria plana e a espacial: cada face é uma figura plana, como as de área de figuras planas, e é a partir dela que mais tarde se calcula a área da superfície do sólido. Nem todo sólido se planifica: a esfera, por ter a superfície curva e sem faces, não abre num desenho plano exato. É por isso que todo mapa do planeta distorce um pouco os continentes.

Elementos de um poliedro: faces, arestas e vértices

Todo poliedro é descrito por três tipos de elementos:

• Faces: os polígonos planos que formam a superfície.
• Arestas: os segmentos onde duas faces se encontram.
• Vértices: os pontos onde as arestas se encontram.

No cubo, por exemplo, são 6 faces quadradas, 12 arestas e 8 vértices. Mais adiante, a relação de Euler vai mostrar que esses três números não são independentes, mas seguem sempre um mesmo padrão.

Um resumo dos principais sólidos, para consultar de relance:

| Sólido | Tipo | Faces / arestas / vértices | Exemplo do dia a dia | | --- | --- | --- | --- | | Cubo | Poliedro (prisma) | 6 / 12 / 8 | dado, caixa | | Pirâmide de base quadrada | Poliedro | 5 / 8 / 5 | pirâmides do Egito | | Cilindro | Corpo redondo | superfície curva | lata, copo | | Cone | Corpo redondo | superfície curva | casquinha de sorvete | | Esfera | Corpo redondo | superfície curva | bola, planeta |

Nos corpos redondos não faz sentido contar faces planas, arestas e vértices, porque a superfície é curva.

Onde a geometria espacial aparece?

• Construção: prédios, salas e móveis são pensados em três dimensões.
• Embalagens: caixas são prismas, latas são cilindros e casquinhas de sorvete são cones.
• Esportes: bolas são esferas, e a trajetória e o volume delas seguem a geometria espacial.
• Tecnologia: a impressão 3D e os jogos digitais modelam tudo com sólidos.

Resumo

• A geometria espacial estuda as figuras de três dimensões, que ocupam volume.
• No espaço, duas retas podem ser paralelas, concorrentes ou reversas.
• Os sólidos se dividem em poliedros (só faces planas) e corpos redondos (com superfície curva).
• Um poliedro tem faces, arestas e vértices; o cubo tem 6, 12 e 8.
• As figuras planas reaparecem como as faces e as secções dos sólidos.