Cones

Uma casquinha de sorvete, um chapéu de festa, um funil, a ponta de um lápis apontado. Todos têm a mesma forma: um círculo embaixo que sobe estreitando até fechar numa ponta. Esse é o cone, o corpo redondo que está para a pirâmide assim como o cilindro está para o prisma.

O que é um cone?

Um cone é um corpo redondo formado por uma base circular e por uma superfície lateral que se estreita até um único ponto, o vértice. Pense num cilindro que, em vez de fechar com um segundo círculo em cima, se afunila até uma ponta.

O cone reto é também um sólido de revolução: girando um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos, o espaço varrido é exatamente um cone reto. Por isso ele lembra a pirâmide, só que com base redonda em vez de poligonal.

No explorador abaixo, mude o raio e a altura e veja a geratriz, as áreas e o volume acompanharem.

Elementos de um cone

Um cone reúne os seguintes elementos:

• Base: o círculo de raio r que apoia o cone.
• Vértice: o ponto onde a superfície lateral se fecha.
• Superfície lateral: a parede curva que liga a base ao vértice.
• Altura (h): a distância do vértice ao plano da base.
• Geratriz (g): o segmento que liga o vértice a um ponto da borda da base.
• Eixo: o segmento que une o vértice ao centro da base.

A geratriz do cone

Num cone reto, três medidas se encaixam num triângulo retângulo: a altura h, o raio r e a geratriz g. A altura e o raio são os catetos, e a geratriz é a hipotenusa, então vale o teorema de Pitágoras:

• g² = h² + r².

Por exemplo, um cone de raio 3 e altura 4 tem geratriz g = √(9 + 16) = √25 = 5. Esse triângulo retângulo é a chave para resolver quase todo problema de cone: dadas duas das três medidas, a terceira sai daí.

Cone reto, oblíquo e equilátero

Os cones se distinguem pela posição do vértice e pelas proporções:

• Cone reto: o vértice fica sobre o centro da base. É o cone de revolução, o mais comum.
• Cone oblíquo: o vértice está deslocado para o lado, e a altura cai fora do centro.
• Cone equilátero: um cone reto em que a geratriz é igual ao diâmetro da base, ou seja, g = 2r. A secção meridiana é um triângulo equilátero, sua altura vale h = r√3 e, planificada, a superfície lateral forma um semicírculo (setor de 180°).

As fórmulas de área e volume a seguir valem para o cone reto, que é o que aparece na maioria dos problemas.

A secção meridiana

Quando cortamos um cone reto por um plano que passa pelo seu eixo, a figura que aparece no corte é a secção meridiana. Ela é sempre um triângulo isósceles: a base mede 2r (o diâmetro da base do cone), os dois lados iguais são geratrizes de medida g, e a altura desse triângulo é a própria altura h do cone. É a mesma relação g² = h² + r² vista de perfil.

No cone equilátero, essa secção meridiana é um triângulo equilátero, e é daí que vem o nome.

A planificação do cone

Assim como no cilindro, dá para entender a área abrindo o cone sobre uma mesa. Ao planificar um cone reto, aparecem duas peças: o círculo da base e um setor circular da superfície lateral.

Esse setor tem uma particularidade: o seu raio é a geratriz g, e o seu arco tem comprimento igual ao da circunferência da base, 2πr. A área desse setor é justamente πrg, que é de onde vem a fórmula da área lateral.

O ângulo central desse setor sai da proporção entre o arco e a circunferência completa de raio g: θ = (r/g) × 360°. No cone equilátero, em que g = 2r, esse ângulo vale (r ÷ 2r) × 360° = 180°, ou seja, a superfície lateral se abre exatamente como um semicírculo.

Área do cone

Com a planificação em mãos, as áreas ficam diretas:

• Área lateral: a área do setor, A_lateral = πrg.
• Área da base: a área do círculo, A_base = πr².
• Área total: a lateral mais a base, A_total = πrg + πr² = πr(g + r).

Por exemplo, num cone de raio 5 e geratriz 13, a área lateral é 3,14 × 5 × 13 = 204,1.

Volume do cone

O volume do cone segue a mesma regra da pirâmide: um terço da base vezes a altura.

• V = (1/3)πr²·h.

Três cones de mesma base e mesma altura enchem exatamente o cilindro correspondente, então o volume do cone é sempre um terço do volume desse cilindro. Num cone de raio 3 e altura 4, o volume é (1/3) × 3,14 × 9 × 4 = 37,68.

Onde os cones aparecem?

• Alimentos: casquinhas de sorvete e cones de pipoca.
• Objetos: chapéus de festa, funis e cones de trânsito.
• Construção: telhados cônicos, torres e a ponta de algumas ferramentas.
• Natureza: montanhas e vulcões têm perfil aproximadamente cônico.

Resumo

• Um cone tem uma base circular e uma superfície lateral que fecha num vértice.
• O cone reto é um sólido de revolução, gerado pela rotação de um triângulo retângulo.
• A geratriz segue g² = h² + r².
• A área total é πr(g + r), e a área lateral é πrg.
• O volume é um terço do cilindro correspondente: V = (1/3)πr²·h.