Prismas: área e volume

Uma caixa de sapato, um bloco de concreto, um aquário de vidro, um pedaço de queijo em forma de barra. Todos são prismas, a família de sólidos mais presente no dia a dia, e a primeira que aprendemos a medir. Depois da introdução à geometria espacial, este é o primeiro sólido que vamos estudar de perto.

O que é um prisma?

Um prisma é um poliedro formado por duas bases paralelas e congruentes, ligadas por faces laterais que são paralelogramos. As duas bases são polígonos idênticos, um bem em cima do outro, e as faces laterais fecham as paredes entre elas.

Não confunda o prisma com a pirâmide. A pirâmide tem uma base só, e as suas faces laterais são triângulos que se juntam num único ponto, o vértice do topo. Por isso o prisma lembra uma coluna de espessura constante, enquanto a pirâmide termina em ponta.

O prisma recebe o nome do polígono da base. Se a base é um triângulo, ele é um prisma triangular; se é um pentágono, um prisma pentagonal, e assim por diante.

No explorador abaixo, ajuste as três dimensões de um paralelepípedo e veja como a área e o volume respondem.

Elementos de um prisma

Um prisma reúne alguns elementos que vale a pena nomear:

• Bases: os dois polígonos congruentes e paralelos.
• Faces laterais: os paralelogramos que ligam as bases, um para cada lado da base.
• Arestas: os lados das bases e das faces laterais.
• Vértices: os cantos onde as arestas se encontram.
• Altura: a distância entre os planos das duas bases.

Um prisma de base com n lados tem 2 bases, n faces laterais, 2n vértices e 3n arestas. Somando as bases às laterais, são n + 2 faces no total. Num prisma hexagonal, por exemplo, são 8 faces, 12 vértices e 18 arestas.

Prisma reto e prisma oblíquo

A posição das arestas laterais separa os prismas em dois tipos:

• Prisma reto: as arestas laterais são perpendiculares às bases, e por isso as faces laterais são retângulos. A altura é igual à aresta lateral.
• Prisma oblíquo: as arestas laterais são inclinadas, e as faces laterais ficam sendo paralelogramos. A altura é menor que a aresta lateral.

Quando um prisma reto tem como base um polígono regular, ele é chamado de prisma regular. O prisma da figura acima, com base retangular e arestas verticais, é um prisma reto.

O paralelepípedo e o cubo

Alguns prismas são tão comuns que ganham nome próprio.

O paralelepípedo é um prisma cuja base é um paralelogramo, então as seis faces são paralelogramos. Quando todas as faces são retângulos, temos o paralelepípedo retângulo, a caixa de sempre, com comprimento, largura e altura. E se todas as arestas forem iguais, todas as faces viram quadrados: aí o sólido é um cubo.

Ou seja, o cubo é um caso particular de paralelepípedo, que por sua vez é um caso particular de prisma. E como a base do cubo é um quadrado, que é um polígono regular, e ele é um prisma reto, o cubo é também um prisma quadrangular regular.

A diagonal do paralelepípedo

Num paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c, a diagonal é o segmento que liga dois vértices opostos atravessando o interior do sólido. Para achá-la, aplicamos o teorema de Pitágoras duas vezes: primeiro na diagonal da base, que mede √(a² + b²), e depois no triângulo retângulo formado por essa diagonal e a altura c. O resultado é:

• d = √(a² + b² + c²).

No cubo de aresta a, as três dimensões são iguais, e a fórmula fica d = a√3.

Área do prisma

A superfície de um prisma tem duas partes: as faces laterais e as duas bases.

• Área lateral: a soma das faces laterais. Num prisma reto, ela é o perímetro da base vezes a altura: A_lateral = perímetro da base × h.
• Área total: a área lateral mais as duas bases: A_total = A_lateral + 2 × A_base.

Dá para enxergar de onde vem esse perímetro pela planificação: se você abre o prisma reto sobre uma mesa, as faces laterais viram um único retângulo comprido, de largura igual ao perímetro da base e altura igual à altura do prisma, com as duas bases lado a lado. Por isso a área lateral é o perímetro vezes a altura.

Na caixa do explorador, de dimensões a, b e c, a área total fica 2(ab + bc + ca), que é a soma dos três pares de faces opostas.

Volume do prisma

O volume é a medida mais importante de um prisma, e a fórmula é curta:

• V = área da base × altura.

Você calcula a área da base como uma figura plana qualquer e multiplica pela altura. No paralelepípedo de dimensões a, b e c, isso vira V = a × b × c, porque a área da base é a × b.

Essa fórmula vale tanto para o prisma reto quanto para o oblíquo: dois prismas de mesma base e mesma altura têm o mesmo volume, mesmo que um esteja inclinado. Esse é o princípio de Cavalieri: se dois sólidos têm a mesma altura e, em todo nível paralelo às bases, seções de mesma área, então eles têm o mesmo volume. É por isso que inclinar um prisma não muda o quanto ele ocupa.

Onde os prismas aparecem?

• Construção: tijolos, blocos, vigas e pilares são prismas.
• Embalagens: caixas de papelão, de leite e de remédio são paralelepípedos.
• Arquitetura: muitos prédios e arranha-céus são prismas altos.
• Objetos: aquários, gavetas e barras de chocolate seguem a mesma forma.

Resumo

• Um prisma tem duas bases paralelas e congruentes ligadas por faces laterais em forma de paralelogramo.
• Ele recebe o nome do polígono da base e pode ser reto ou oblíquo.
• O paralelepípedo e o cubo são prismas.
• A área total é a área lateral mais as duas bases.
• O volume é sempre a área da base vezes a altura: V = A_base × h.