Quanto de arame contorna uma roda, e quanto de tecido cobre uma toalha redonda? As duas perguntas caem no mesmo lugar: o comprimento da circunferência e a área do círculo, as medidas curvas que o número π resolve. Depois de conhecer a circunferência e o círculo e ver o polígono regular se aproximar do círculo, chegou a hora de medir as duas coisas.
O comprimento da circunferência é C = 2πr = πd, a volta da borda. A área do círculo é A = πr², a região de dentro. O setor circular é uma fatia: seu arco e sua área são a fração θ ÷ 360 do total. Comprimento sai em cm; área, em cm².
O que é o comprimento da circunferência?
O comprimento da circunferência é a medida do seu contorno, o quanto você anda para dar uma volta completa. Ele é o perímetro do círculo, só que de uma linha curva. A fórmula é C = 2πr, onde r é o raio, ou C = πd, onde d é o diâmetro, já que o diâmetro é o dobro do raio.
A circunferência é só a linha curva, com todos os pontos à mesma distância do centro. O círculo é essa linha mais toda a região de dentro. É por isso que a circunferência tem comprimento e o círculo tem área.
Essa fórmula sai direto do número π: como π é a razão entre o comprimento e o diâmetro, o comprimento é π vezes o diâmetro. Uma circunferência de raio 5, por exemplo, tem comprimento 2 × 3,14 × 5 = 31,4.
No explorador abaixo, arraste a alça para mudar o raio e veja o comprimento e a área mudarem juntos. Escolha um setor para ver quanto do arco e da área aquela fatia representa.
Raio: r = 5 (use π ≈ 3,14159)
Comprimento: C = 2πr = 31,42
Área: A = πr² = 78,54
Setor de 90°: arco = 7,85, área = 19,63
Círculo com raio ajustável e um setor destacado. O painel mostra o comprimento da circunferência (C = 2πr), a área do círculo (A = πr²) e, para o setor escolhido, o comprimento do arco e a área da fatia.
O número π
O número π é a razão entre o comprimento de qualquer circunferência e o seu diâmetro. Não importa se o círculo é a boca de um copo ou a borda de uma roda-gigante: dividir o comprimento pelo diâmetro sempre dá o mesmo valor, perto de 3,14159.
Nas contas do dia a dia, costuma-se usar π ≈ 3,14, e às vezes a fração 22/7, que também chega perto. É esse número que aparece nas duas fórmulas, tanto no comprimento quanto na área.
Como calcular a área do círculo?
A área do círculo é a medida da região que ele ocupa, a mesma ideia de área de figuras planas aplicada a um contorno curvo, e vale A = πr². Você eleva o raio ao quadrado e multiplica pelo número π.
Um círculo de raio 10, por exemplo, tem área 3,14 × 10² = 3,14 × 100 = 314. Repare que a área depende do quadrado do raio: dobrar o raio não dobra a área, mas a quadruplica.
A fórmula da área tem uma origem bonita. A área de um polígono regular é (perímetro × apótema) ÷ 2. Quando o número de lados cresce sem parar, o perímetro vira o comprimento 2πr e o apótema vira o raio r, e a conta dá (2πr × r) ÷ 2 = πr².
Como calcular o arco e a área de um setor circular?
Tudo em um setor circular, a fatia do círculo entre dois raios como um pedaço de pizza, é uma fração do círculo inteiro, na mesma proporção que o ângulo central θ está para 360°:
- Comprimento do arco: (θ ÷ 360) × 2πr.
- Área do setor: (θ ÷ 360) × πr².
Um setor de 90° é um quarto do círculo, então o seu arco e a sua área valem um quarto do total. Basta achar a fração e multiplicar pelo comprimento ou pela área inteira.
Não confunda o comprimento com a área. O comprimento da circunferência é uma medida de linha (cm), e a área do círculo é uma medida de superfície (cm²). Uma usa o raio; a outra, o raio ao quadrado.
Coroa circular
A coroa circular é a região entre duas circunferências de mesmo centro, como um anel ou a parede de um cano vista de frente. Como ela é o círculo maior menos o buraco do círculo menor, a sua área é a diferença das duas áreas: A = π(R² − r²), onde R é o raio maior e r o menor. Uma coroa de raios 5 cm e 3 cm, por exemplo, tem área 3,14 × (5² − 3²) = 3,14 × (25 − 9) = 3,14 × 16 = 50,24 cm².
Onde essas medidas aparecem?
- Rodas e engrenagens: o comprimento da circunferência diz quanto a roda anda em cada volta.
- Pizzas e bolos: a área do círculo mede o tamanho, e o setor mede cada fatia.
- Pistas e rotatórias: o comprimento da volta define a distância de uma corrida circular.
- Canos e anéis: a coroa circular calcula a área da parede de um cano visto de frente.
Exercícios
Tente resolver antes de ver a resposta.
- Exercício 1
Qual é o comprimento de uma circunferência de raio 5 cm? (use π ≈ 3,14)
- Exercício 2
Qual é a área de um círculo de raio 10 cm? (use π ≈ 3,14)
- Exercício 3
Uma roda tem diâmetro de 50 cm. Quanto ela anda em uma volta completa? (use π ≈ 3,14)
- Exercício 4
Qual é a área de um setor de 90° num círculo de raio 8 cm? (use π ≈ 3,14)
- Exercício 5
Uma coroa circular tem raios 6 cm e 4 cm. Qual é a sua área? (use π ≈ 3,14)
- Exercício 6
A área de um círculo é 78,5 cm². Qual é o seu raio? (use π ≈ 3,14)
Resumo
- O comprimento da circunferência é C = 2πr = πd.
- A área do círculo é A = πr².
- O número π é a razão entre o comprimento e o diâmetro, cerca de 3,14159.
- Num setor de ângulo θ, o arco e a área são a fração θ ÷ 360 do total.
- Comprimento é medida de linha (cm); área é medida de superfície (cm²).
O próximo tópico do percurso é Simetria e transformações geométricas, sobre reflexões, rotações e translações no plano. Enquanto ele não sai, volte à página inicial para ver a trilha inteira.