Simetria e transformações geométricas

Uma borboleta com as duas asas iguais, um ladrilho que se repete pelo chão, o reflexo de um prédio na água. Em todos esses casos, uma figura vira outra por um movimento bem definido, e é disso que trata a geometria das transformações. Aqui você vai conhecer as principais transformações geométricas (translação, rotação e reflexão), como elas movem figuras pelo plano e quando dizemos que uma figura tem simetria.

O que são transformações geométricas?

Uma transformação geométrica é uma regra que leva cada ponto de uma figura a um novo ponto, criando uma figura imagem. É como pegar a figura e movê-la ou mudá-la seguindo uma instrução precisa.

As transformações mais importantes no plano são quatro: a translação, a rotação, a reflexão e a homotetia. As três primeiras não mexem no tamanho; a última amplia ou reduz.

No explorador abaixo, escolha uma transformação e veja para onde a figura em forma de L vai parar. O ponto colorido marca sempre o mesmo ponto da figura, então dá para acompanhar se a orientação mudou.

Translação, rotação e reflexão: as três isometrias

As três transformações que não mudam o tamanho nem a forma são chamadas de isometrias, palavra que vem de "mesma medida". Cada uma move a figura de um jeito diferente:

• Translação: desliza a figura por um vetor, que dá a direção, o sentido e a distância. A figura não gira nem vira.
• Rotação: gira a figura em torno de um ponto fixo, o centro, por um ângulo e num sentido (horário ou anti-horário). Uma rotação de 180° é a chamada simetria central e dá no mesmo nos dois sentidos.
• Reflexão: espelha a figura por uma reta, o eixo. É a única das três que inverte a orientação, trocando os lados em relação ao eixo.

A diferença fina está na orientação. Depois de uma translação ou de uma rotação, a figura continua "virada para o mesmo lado"; depois de uma reflexão, ela aparece espelhada, como a sua imagem no espelho.

Tipos de simetria: axial, central e de rotação

Uma figura tem simetria quando existe uma transformação, diferente de deixar tudo parado, que a leva exatamente sobre si mesma. Os dois tipos mais comuns aparecem o tempo todo:

• Simetria axial: a figura tem um eixo de simetria, uma reta que a divide em duas metades espelhadas. A borboleta, a letra A e o coração têm um eixo; o retângulo tem dois, as retas que passam pelo meio de cada par de lados opostos; e o quadrado tem quatro.
• Simetria central: a figura tem um centro de simetria, um ponto tal que girar 180° em torno dele devolve a mesma figura. A letra S, a letra Z e o paralelogramo têm esse tipo de simetria.

Há ainda a simetria de rotação: um polígono regular de n lados volta a coincidir consigo mesmo a cada giro de 360° ÷ n. Um hexágono regular, por exemplo, tem simetria de rotação de ordem 6 e seis eixos de simetria.

Isometrias e a congruência

Aqui as peças se encaixam com um assunto que você já viu. Duas figuras são congruentes quando têm exatamente a mesma forma e o mesmo tamanho, e isso acontece precisamente quando existe uma isometria que leva uma sobre a outra.

Ou seja, dizer que dois triângulos são congruentes é o mesmo que dizer que dá para levar um no outro por translações, rotações e reflexões. As isometrias são a maneira de "encaixar" uma figura na outra.

Homotetia: a transformação que muda o tamanho

Nem toda transformação preserva o tamanho. A homotetia amplia ou reduz a figura por um fator, a razão, a partir de um ponto chamado centro de homotetia.

Com razão 2, a figura dobra; com razão 1/2, ela fica pela metade. Como o tamanho muda, a imagem não é congruente à original, e sim semelhante: mesma forma, tamanho proporcional. É a homotetia que está por trás de ampliar uma foto ou projetar um slide numa parede.

As transformações no plano cartesiano

Quando a figura está desenhada no plano cartesiano, cada transformação vira uma regra simples sobre as coordenadas de cada ponto (x, y).

• Reflexão no eixo x: (x, y) vira (x, −y). O ponto (3, 2) vai para (3, −2).
• Reflexão no eixo y: (x, y) vira (−x, y). O ponto (3, 2) vai para (−3, 2).
• Simetria central na origem: (x, y) vira (−x, −y), que é a mesma coisa que girar 180° em torno de (0, 0).
• Translação pelo vetor (a, b): (x, y) vira (x + a, y + b).
• Homotetia de centro na origem e razão k: (x, y) vira (k·x, k·y).

Repare no padrão: a reflexão troca o sinal de uma coordenada, a simetria central troca o sinal das duas, e a homotetia multiplica as duas pelo mesmo fator.

Onde a simetria aparece?

• Natureza: folhas, flores, borboletas e flocos de neve são cheios de eixos de simetria.
• Arte e arquitetura: fachadas, mandalas e mosaicos usam reflexões e rotações para criar padrões.
• Ladrilhos: as translações repetem uma peça pelo plano inteiro, como num piso ou num papel de parede.
• Logotipos: muitas marcas usam simetria para parecer equilibradas e fáceis de lembrar.

Resumo

• Uma transformação geométrica leva cada ponto a um novo ponto.
• As três isometrias (translação, rotação e reflexão) preservam tamanho e forma, gerando figuras congruentes.
• Só a reflexão inverte a orientação da figura.
• Uma figura tem simetria quando uma transformação a leva sobre si mesma: axial (eixo), central (centro) ou de rotação.
• A homotetia muda o tamanho e gera figuras semelhantes, não congruentes.