Esferas

Um planeta, uma bolha de sabão, uma bola de futebol, uma gota d'água em queda livre. Todos tendem à mesma forma, a mais redonda e simétrica de todas: a esfera. Ela fecha o trio dos corpos redondos, depois do cilindro e do cone, e é a única sem base nem vértice.

O que é uma esfera?

Uma esfera é o conjunto de todos os pontos do espaço cuja distância a um ponto fixo, o centro, é menor ou igual ao raio r. É a mesma ideia do círculo, só que no espaço: no plano, os pontos a uma distância fixa do centro formam uma circunferência; no espaço, formam uma superfície esférica. A diferença é de dimensão: a circunferência é uma figura plana, uma linha curva presa a um único plano, e a esfera é um sólido de três dimensões.

A casca externa, formada só pelos pontos que estão exatamente à distância r, é a superfície esférica. Quando dizemos "esfera", às vezes pensamos no sólido cheio, e às vezes só nessa casca; o contexto deixa claro qual dos dois. Uma bola de futebol, oca por dentro, lembra a superfície esférica, só a casca. Uma bola de boliche maciça lembra a esfera como sólido, com o interior todo preenchido.

No explorador abaixo, mude o raio e veja a área da superfície e o volume responderem.

Elementos de uma esfera

A esfera tem menos elementos que os outros sólidos, porque é toda curva:

• Centro: o ponto do qual todos os pontos da superfície estão à mesma distância.
• Raio (r): a distância do centro à superfície.
• Diâmetro (d): a maior corda, que passa pelo centro e vale d = 2r.
• Superfície esférica: a casca externa.
• Polos, eixo e equador: como no globo terrestre, um eixo liga dois polos, e o equador é o círculo do meio.

O que a esfera não tem também importa: ela não tem faces planas, nem arestas, nem vértices. Por isso não é um poliedro, e sim um corpo redondo.

As secções da esfera

Corte uma esfera com um plano que a atravesse e o que aparece é sempre um círculo.

• Se o plano passa pelo centro, o círculo é o maior possível, com o mesmo raio r da esfera: é o círculo máximo.
• Se o plano passa longe do centro, o círculo é menor, com raio inferior a r.

A linha do equador num globo é um exemplo de círculo máximo, e cada paralelo é um círculo menor.

Partes da esfera: calota, fuso e cunha

Quando cortamos ou fatiamos a esfera, aparecem peças com nomes próprios, muito cobradas em vestibulares e no ENEM:

• Calota esférica: a "tampa" que sobra quando um plano corta a esfera sem passar pelo centro, como a casquinha do topo de uma laranja. Se a calota tem altura h numa esfera de raio r, a sua superfície vale A = 2πrh.
• Fuso esférico: uma fatia da superfície entre dois meridianos, como a casca de um gomo de laranja. Para um ângulo de abertura α, a sua área é a fração α/360 da superfície toda: A = 4πr² × (α/360).
• Cunha esférica: o sólido que corresponde ao fuso, o gomo cheio. Para o mesmo ângulo α, o seu volume é a fração α/360 do volume total: V = (4/3)πr³ × (α/360).

Área da superfície esférica

A área da casca de uma esfera é dada por uma fórmula curta e elegante:

• A = 4πr².

Repare que ela é exatamente quatro vezes a área de um círculo máximo (πr²). Num exemplo, a superfície de uma esfera de raio 3 tem área 4 × 3,14 × 9 = 113,04.

Volume da esfera

O espaço ocupado pela esfera tem a fórmula:

• V = (4/3)πr³.

Como o raio aparece ao cubo, o volume cresce muito rápido: dobrar o raio multiplica o volume por oito. Numa esfera de raio 6, o volume é (4/3) × 3,14 × 216 = 904,32.

Metade de uma esfera é um hemisfério (ou semiesfera), e o seu volume é a metade do total: (2/3)πr³. É a forma de uma tigela ou de uma cúpula.

A esfera como sólido de revolução

Assim como o cilindro e o cone, a esfera é um sólido de revolução. Se você girar um semicírculo em torno do seu diâmetro, o sólido varrido no espaço é exatamente uma esfera (girando apenas a semicircunferência, o arco, você obtém a superfície esférica).

Há aqui uma relação célebre, descoberta por Arquimedes: o volume da esfera é exatamente 2/3 do volume do cilindro que a envolve justinho, o de raio r e altura 2r. Era o resultado de que ele mais se orgulhava.

É por isso que a esfera é tão simétrica: ela tem o mesmo aspecto de qualquer direção que você olhe. Entre todos os sólidos com um dado volume, a esfera é a que tem a menor área de superfície, e é por isso que bolhas de sabão e gotas tendem a essa forma.

Onde as esferas aparecem?

• Astronomia: planetas, estrelas e a Lua são aproximadamente esféricos.
• Esportes: bolas de futebol, basquete e bilhar.
• Natureza: bolhas de sabão, gotas de orvalho e algumas frutas.
• Engenharia: rolamentos, tanques esféricos de gás e cúpulas.

Resumo

• Uma esfera é o conjunto dos pontos do espaço a uma distância de até r de um centro.
• A sua casca é a superfície esférica, e a esfera não tem faces, arestas nem vértices.
• Todo plano a corta num círculo; o que passa pelo centro dá um círculo máximo de raio r.
• A área da superfície é A = 4πr².
• O volume é V = (4/3)πr³.