Geometria não euclidiana: uma introdução

Por mais de dois mil anos, a geometria de Euclides foi a única que existia, tão certa que parecia impossível haver outra. No século XIX, alguns matemáticos ousaram trocar uma única regra dele, e descobriram mundos inteiros de geometrias novas. Essa é a geometria não euclidiana, e ela mudou a forma como entendemos o espaço.

O que é geometria não euclidiana?

A geometria não euclidiana é toda geometria que aceita os primeiros postulados de Euclides, mas troca o quinto, o das paralelas, por outra regra. Ao mudar essa única peça, surgem geometrias em que a soma dos ângulos de um triângulo não é 180° e em que as paralelas se comportam de um jeito estranho.

As duas mais importantes são a geometria hiperbólica e a geometria esférica, esta última aparentada da geometria elíptica. Cada uma vale sobre um tipo de superfície: uma sela e uma esfera.

O quinto postulado de Euclides

Euclides organizou a geometria a partir de cinco postulados, afirmações aceitas sem prova. Os quatro primeiros são simples e diretos. O quinto, o postulado das paralelas, é mais complicado e pode ser enunciado assim:

• Por um ponto fora de uma reta passa exatamente uma reta paralela a ela.

Durante séculos, matemáticos tentaram provar esse postulado a partir dos outros quatro, sem sucesso. No fim, perceberam algo surpreendente: dá para trocá-lo por outra regra e ainda assim construir uma geometria coerente.

No explorador abaixo, alterne entre as três geometrias e veja como o mesmo triângulo muda de forma.

A geometria hiperbólica

Na geometria hiperbólica, criada por Nikolai Lobachevsky e János Bolyai por volta de 1830 (Gauss chegou às mesmas ideias antes, mas não as publicou), o quinto postulado vira outro: por um ponto fora de uma reta passam infinitas paralelas. Lobachevsky e Bolyai chegaram a ela de forma independente, cada um sem saber do trabalho do outro.

Ela vale sobre superfícies de curvatura negativa, com o formato de uma sela. Nesse mundo, um triângulo tem lados que parecem afundar para dentro, e a soma dos seus ângulos é sempre menor que 180°.

A geometria esférica

Na geometria esférica, ligada a Bernhard Riemann, a regra é oposta: por um ponto fora de uma reta não passa nenhuma paralela.

Ela é a geometria da superfície de uma esfera, de curvatura positiva, e é a que descreve a Terra. Aqui as "retas" são os círculos máximos, como o equador e os meridianos, que sempre acabam se cruzando. Um triângulo desenhado sobre a esfera tem lados que incham para fora, e a soma dos seus ângulos é maior que 180°.

A soma dos ângulos de um triângulo

O sinal mais claro de qual geometria você está usando é a soma dos ângulos de um triângulo:

• Euclidiana (plana): a soma é exatamente 180°.
• Hiperbólica (curvatura negativa): a soma é menor que 180°.
• Esférica (curvatura positiva): a soma é maior que 180°.

Um exemplo bonito está na própria Terra: pegue um triângulo com um vértice no polo norte e dois sobre o equador. Os dois ângulos da base valem 90° cada um, então só eles já somam 180°, e ainda falta somar o ângulo do polo.

Onde a geometria não euclidiana aparece?

• Relatividade geral: Einstein descreveu a gravidade como uma curvatura do espaço-tempo, usando geometria não euclidiana.
• Navegação e cartografia: rotas de aviões e navios sobre a Terra esférica seguem círculos máximos.
• GPS: os cálculos de posição levam em conta a curvatura da Terra e do espaço.
• Arte e arquitetura: superfícies em forma de sela aparecem em telhados e esculturas.

Resumo

• A geometria não euclidiana troca o quinto postulado de Euclides, o das paralelas.
• Na geometria hiperbólica passam infinitas paralelas por um ponto e a soma dos ângulos de um triângulo é menor que 180°.
• Na geometria esférica não passa nenhuma paralela e a soma dos ângulos é maior que 180°.
• A curvatura da superfície (zero, negativa ou positiva) decide qual geometria vale.
• Ela é a base da relatividade geral e da navegação sobre a Terra.