Poliedros e a relação de Euler

Um dado de seis lados, um cristal de sal, a cúpula de um estádio, uma bola de futebol clássica. Todos são poliedros, sólidos feitos só de faces planas, e escondem um padrão numérico surpreendente. Depois da introdução à geometria espacial, este tópico olha para o que os poliedros têm em comum.

O que é um poliedro?

Um poliedro é um sólido limitado apenas por faces planas, e cada face é um polígono. A palavra vem do grego e quer dizer "muitas faces".

Os prismas e as pirâmides são poliedros, assim como o cubo. Já o cilindro, o cone e a esfera não são, porque têm superfícies curvas.

No explorador abaixo, escolha um poliedro e confira o número de vértices, arestas e faces, além da conta que sempre dá o mesmo resultado.

Elementos: faces, arestas e vértices

Todo poliedro é descrito por três tipos de elementos:

• Faces (F): os polígonos planos que formam a superfície.
• Arestas (A): os segmentos onde duas faces se encontram.
• Vértices (V): os pontos onde as arestas se encontram.

No cubo, por exemplo, são 6 faces quadradas, 12 arestas e 8 vértices. Esses três números nunca são independentes: eles sempre se ajustam segundo uma regra fixa.

A relação de Euler

O matemático Leonhard Euler descobriu que, em todo poliedro convexo, esses três números obedecem a uma relação simples:

• V − A + F = 2.

Não importa se o poliedro é um tetraedro, um cubo ou um icosaedro: subtraindo as arestas da soma dos vértices com as faces, o resultado é sempre 2. Num cubo, V − A + F = 8 − 12 + 6 = 2; numa pirâmide de base quadrada, 5 − 8 + 5 = 2.

A relação é tão confiável que serve de ferramenta: se você conhece dois dos três números, o terceiro sai na hora.

Contando arestas pelas faces

Cada aresta é sempre compartilhada por exatamente duas faces. Então, se você somar o número de lados de todas as faces, cada aresta acaba contada duas vezes:

• 2A = soma dos lados de todas as faces.

Um poliedro com 4 faces triangulares e 1 face quadrada tem 4 × 3 + 1 × 4 = 16 lados somados, logo 2A = 16 e A = 8 arestas. Com A em mãos, a relação de Euler entrega o número de vértices ou de faces que faltar.

Soma dos ângulos das faces

Somando as medidas de todos os ângulos internos das faces de um poliedro convexo, o total só depende do número de vértices:

• S = 360° × (V − 2).

Num cubo, V = 8, então S = 360° × 6 = 2 160°. Confere: são 6 faces quadradas, cada uma com 360° internos, e 6 × 360° = 2 160°.

Poliedros convexos e não convexos

A relação de Euler no formato acima vale para os poliedros convexos.

Um poliedro é convexo quando fica todo de um mesmo lado do plano que contém cada face, sem partes afundadas. Um cubo e uma pirâmide são convexos. Já uma estrela tridimensional, com pontas e reentrâncias, é um poliedro não convexo, também chamado de côncavo, e nela a relação pode falhar.

Os poliedros de Platão

Entre todos os poliedros, cinco são especiais: os poliedros regulares convexos, também chamados de poliedros de Platão. Neles, todas as faces são polígonos regulares iguais, cada vértice reúne o mesmo número de arestas e o sólido é convexo, e é justamente essa exigência de convexidade que garante que existam exatamente cinco.

Só existem cinco, e todos, é claro, respeitam a relação de Euler:

| Poliedro | Faces | V | A | F | V − A + F | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | Tetraedro | 4 triângulos | 4 | 6 | 4 | 2 | | Hexaedro (cubo) | 6 quadrados | 8 | 12 | 6 | 2 | | Octaedro | 8 triângulos | 6 | 12 | 8 | 2 | | Dodecaedro | 12 pentágonos | 20 | 30 | 12 | 2 | | Icosaedro | 20 triângulos | 12 | 30 | 20 | 2 |

Os dados de RPG com 4, 6, 8, 12 e 20 lados são exatamente esses cinco sólidos.

O motivo de serem só cinco está nos ângulos. Em cada vértice precisam se encontrar pelo menos três polígonos regulares iguais, e a soma dos ângulos em volta do vértice tem de ficar abaixo de 360°. Com triângulos de 60° cabem 3, 4 ou 5 faces por vértice, o que gera o tetraedro, o octaedro e o icosaedro; com quadrados de 90° só cabem 3, formando o cubo; com pentágonos de 108° também só 3, formando o dodecaedro. Do hexágono em diante, os 120° de cada ângulo já não deixam espaço para três faces, e por isso não existe um sexto poliedro de Platão.

Nomeando os poliedros

Os poliedros recebem nomes pela quantidade de faces, com prefixos gregos:

• Tetraedro: 4 faces.
• Pentaedro: 5 faces.
• Hexaedro: 6 faces.
• Heptaedro: 7 faces.
• Octaedro: 8 faces.

Um prisma triangular, por exemplo, tem 5 faces, então é um pentaedro; um cubo é um hexaedro.

Onde os poliedros aparecem?

• Jogos: dados de tabuleiro e de RPG.
• Natureza: cristais de sal, diamantes e alguns vírus têm forma de poliedro.
• Arquitetura: cúpulas geodésicas e telhados facetados.
• Design: embalagens, luminárias e peças decorativas.

Resumo

• Um poliedro é um sólido limitado por faces planas, que são polígonos.
• As faces formam arestas, e as arestas formam vértices.
• Em todo poliedro convexo vale a relação de Euler: V − A + F = 2.
• Os cinco poliedros de Platão são o tetraedro, o cubo, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro.
• Os poliedros são nomeados pela quantidade de faces (tetraedro, hexaedro, octaedro...).